المناهج

التباديل والتوافيق

التباديل والتوافيق

كيف نميز بين التباديل والتوافيق

التباديل والتوافيق..

من الذي اكتشف التباديل والتوافيق؟

تعد التباديل والتوافيق إحدى أهم قوانين نظرية الاحتمالات في الرياضيات،

التي ساهم في اكتشافها العالمان الفرنسيان باسكال وبيير،

حيث يساهم كل من هذين القانونين في حساب احتمالات توزيع العناصر في المجموعات وتشكيل مجموعات فرعية منها بترتيب معيّن أو دون ترتيب.

تعريف التباديل

التراتيب Permutation هي عدد التشكيلات الممكنة لمجموعة جزئية من العناصر منتقاة من

مجموعة كلية من العناصر مع مراعاة لأهمية تسلسل العناصر في تشكيلات المجموعة الجزئية.

أو بعبارة أخرى عدد إمكانات ترتيب ر عنصر منتقاة من ن عنصر بشرط الترتيب وعدم تكرار نفس العنصر في التشكيل.

مثال على التباديل

التباديل والتوافيق..

لكي يتضح لنا القانون ونفهم التعريف العام بتبديل، نضرب لكم فيما يلي مثال على التباديل،

في المثال نفترض أنه يوجد أربعة أشخاص، يريد الأشخاص أن يقوموا بترتيب أنفسهم في طابور.

نريد الحل أن يكون بكم طريقة يمكن بها الترتيب، التعديل

هي التي توفر لنا معرفة كم طريقة مختلفة يمكن بها أن يصطف هؤلاء الأشخاص الأربعة في الطابور.

طريقة الحل هي أن تُسمى الطرق المختلفة التي يمكن بها اصطفاف هؤلاء الأشخاص في الطابور باسم التباديل، وعدد الأشخاص هو 4،

إذ ل(4,4)، ولإيجاد قيمة ل(4,4) علينا ان نتخيل أن المواقع الأربعة المختلفة يمكن أن يقف بها الأشخاص الأربعة.

حيث كل شخص يمكنه أن يقف في أربع أماكن في الطابور كالتالي:

يمكن الوقوف في المكان الأول ب ِ4 طرق مختلفة لكي شخص مرة،

ويمكن الوقوف في المكان الثاني ب ِ3 طرق مختلفة فقط. وعليه يمكن الوقوف في المكان الثالث بِطرقتين مختلفتين فقط،

ويمكن الوقوف في المكان الرابع بطريقة واحدة مختلفة،

وعليه يكون عدد جميع الطرق التي يُمكن الوقوف فيها في الطابور بشكل مصطف هي = 4*3*2*1=24 طريقة.

أي ل(4,4) = 3*2*1=24، وفي التوافيق وطريقة الحل في التوافيق تمثل اختبارات غير مرتبة،

لأن التوافيق كما سبق وذكرنا لا تعتمد على الترتيب كما هو الحال في التباديل.

وفي الفقرة التالية سوف يكون الحديث عن التوافيق،

ونوضح أننا نستخدم في قانون التوافيق طريقة مختلفة في حل الأشياء لأنها لا تعتمد على الترتيب،

ويكون الترتيب عديم الأهمية، على سبيل المثال عندما نختار أعضاء لجنة لكل منهم نفس الحقوق والواجبات.

 

التوافيق Combination

التباديل والتوافيق..

هي عدد التشكيلات الممكنه لإنتقاء مجموعة جزئية من مجموعة كلية من العناصر عندما يكون ليس هناك أهمية للترتيب.

أو بعبارة أخرى، «التوافيق» هي عبارة عن عدد الطرق التي يمكن فيها انتقاء «ر» من العناصر من ضمن «ن» من العناصر المتوفرة

دون مراعاة لترتيب تسلسل العناصر المنتقاة ضمن التشكيلات الممكنة للمجموعة الجزئية.

رياضيا تحسب التوافيق وفقا للعلاقة التالية:

ق(ن، ر)=ن!\ر!×(ن-ر)!
حيث ن! تعني ن عاملي أو مضروب وتعرف حسب العلاقة التالية:

ن!=ن×(ن-1)×(ن-2)×(ن-3)×(ن-4)×…….×3×2×1
و ق(ن، ر) عدد التوافيق،

أي مجموع الكيفيات التي يمكن أن ننتقي بها أفراد المجموعة دون مراعاة الترتيب.

ن:عدد أفراد المجموعة التي يراد ترتيبها.

ر: يرمز إلى كيفية اخذ أفراد المجموعة.

سيتم استخدام الرموز اللاتينية بدلا عن العربية وبالتالي فصورة التوافيق يمكن كتابتها بأحد الأشكال التالية:

{\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}

={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}{\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}=

{_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}

مثال على التوافيق

لنفرض انه لدينا في صندوق اسود أربع كرات ملونة سوداء وحمراء وزرقاء وصفراء

ونريد سحب كرتين من الصندوق معا. عدد الحالات الممكنة هي:

{\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} (4,2)=\mathbf {C} _{2}^{4}={_{4}C_{2}}=

{4 \choose 2}={\frac {4!}{2!(4-2)!}}={\frac {4*3*2*1}{2*2*1}}}{\displaystyle \mathbf {C} (n,k)

=\mathbf {C} (4,2)=\mathbf {C} _{2}^{4}={_{4}C_{2}}={4 \choose 2}={\frac {4!}{2!(4-2)!}}={\frac {4*3*2*1}{2*2*1}}}

أي 6 حالات ممكنة وهي كالتالي

(سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، صفراء)
(وسوداء، حمراء) (حمراء، صفراء)
(سوداء، صفراء)

حيث لا يوجد هنا أهمية للترتيب كون الكرتين يسحبان معاً، بمعنى اوضح الثنائية (سوداء، زرقاء)

هي نفسها (زرقاء، سوداء) وتعد مرة واحدة وليس مرتين.

قوانين التباديل والتوافيق

عقب أن تعلمنا الفرق بين التباديل والتدفق ، سنشرح القوانين التي يتم من خلالها حل الحل باستخدام التباديل والتوليفات ،

حيث تسهل هذه القوانين الحل إلى حد كبير ، وتستعمل لإيجاد الحلول الصحيحة لعدد من الرياضيات من الموضوعات المدرجة

في موضوعات الاحتمالات باستخدام التباديل والتوليفات ، وهنا نضع القوانين من أجلك التخفيض والتعديل:

قانون التباديل هو:

L (ن ، ر) = ن! / (ن – ر)!.
قانون التوليفات هو:

س (ن ، ص) = ن! R! × (نر)!.
حتى أن ن! = N × (n-1) × (n-2) × (n-3) × (n-4) × ……. × 3 × 2 ×

 

شاهد أيضًا

شرح قوانين التباديل والتوافيق Pdf

السابق
رقم التوجيه البنكي الأهلي
التالي
المديرية العامة للسجون الموظفين