الرياضيات

القطوع المخروطية

القطوع المخروطية

ما هي القطوع المخروطية؟

يوجد لدينا في الرياضيات أربعة أنواع رئيسية من القطوع، وتسمى هذه القطوع بالقطوع المخروطية؛ لأنها تحدث نتيجة تقاطع مستوي مع مخروط دائري، ولكل منها شكل معين نسبة إلى الزاوية والموقع للمستوى القاطع للمخروط، وهي عبارة عن أربعة أنواع: الدوائر والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ وجميع القطوع لا تمرّ مستوياتها عبر رأس المخروط.

القطع المكافئ:

يعتبر القطع المكافئ من أشهر أنواع القطوع المخروطية، وهو عبارة عن المحل الهندسي لمجموعة من نقاط المستوى التي تبعد عن نقطة معينة يطلق عليها اسم البؤرة، حيث إن بعدها يساوي بعدها عن مستقيمٍ آخر، وهذا المستقيم الثابت يسمى الدليل.

والقطع المكافئ أيضا متماثل حول المستقيم العمودي على الدليل والمار بالبؤرة ويطلق على هذا المستقيم اسم محور التماثل، حيث تسمى النقطة التي يتقاطع بها القطع المكافئ مع محور التماثل الرأس، وكما تسمي القطعة المستقيمة المارة بالبؤرة والتي تكون عمودية على محور التماثل بالوتر البؤري ويقطع طرفا الوتر البؤري على القطع المكافئ.

معادلة القطع المكافئ:

القطع مفتوح لليمين أو اليسار:

  • في حال كانت إحداثيات ذروته (س0،ص0) تكون المعادلة بالشكل:

(ص-ص0)=4أ(س-س0)

  • في حال كانت تنطبق ذروته على محور الإحداثيات تصبح معادلة كالاتي:

ص²=4أس

القطع مفتوح للأعلى او الأسفل:

  • في حال كانت إحداثيات ذروته (س0،ص0) تكون المعادلة كالاتي:

(س-س0)=4أ(ص-ص0)

  • في حال كانت ذروته تنطبق على مبدأ الإحداثيات :

س²=4أص

القطع الناقص:

القطع الناقص هو عبارة عن قطع بيضوي الشكل، ويعتبر أيضا عبارة عن المحل الهندسي لمجموعة من النقاط المستوية داخل منحنى، حيث يكون مجموع بعد أي نقطة من هذا المنحني عن نقطتين ثابتتين داخله يساوي بعدا ثابتا، وتسمى هاتان النقطتان بالبؤرتين أو المركزين.

ويسمى الخط المستقيم في القطع الناقص الذي يحتوي على البؤرتين، والذي ينتهي على منحنى القطع الناقص بمحور التماثل ونقطة المنتصف به تسمى المركز، أما الخط المستقيم الذي يمر بالمركز ونهايتاها على المنحنى والمتعامدة مع محور التماثل فيسمى المحور الأصغر، وتسمى نهايتا المحور الأكبر الرأسين، بينما تسمى نهايتا المحور الأصغر الرأسين المرافقين.

خصائص القطع الناقص:

  • المركز: هو  عبارة عن نقطة ما تقع في منتصف الخط داخل القطع الناقص، ويربط هذا الخط فيما بين البؤريين ويعتبر النقطة التي تتقاطع بها المحاور الرئيسية والثانوية.
  • المحور الرئيسي والثانوي: هما عبارة عن أطول قطر وأقصر قطر تقعان داخل القطع الناقص، ويعتبر المحور الرئيسي على أنه القطر الأطول والمحور الثانوي يسمى بالقطر الأقصر.
  • البؤرتين: هما عبارة عن النقطتين اللتين تقومان على تحديد القطع الناقص.

الدائرة:

يعبر عن الدائرة بأنها ليست من أنواع القطوع فعليا؛ حيث تعتبر عبارة عن حالة خاصة من حالات القطع الناقص، وتتشكل في حالة وقوع البؤرتان للقطع الناقص في النقطة نفسها، ويعبر عنها أيضا على أنها مجموعة من نقاط المستوى تكون متساوية البعد عن نقطة واحدة يطلق عليها اسم مركز الدائرة، ولا تحتوي على محاور رئيسية وثانوية لأن جميع أقطارها متساوية.

معادلة الدائرة:

  • معادلة الدائرة في حال كان مركزها يقع في النقطة (أ،ب) ونصف قطرها (ر) هي:
(س-أ²)+(ص-ب²)=ر²
  • في حال كان مركزها في مبدأ الإحداثيات هي:
س²+ص²=ر²

القطع الزائد:

سنتحدث هنا عن النوع الأخير من أنواع القطوع ويسمى بالقطع الزائد، ويعبر عنة على أنه المحل الهندسي لنقطة معروفة متنقلة داخل مستوى معين أو أكثر من نقطة يكون الفرق بين بعدي كل من هذه النقاط بالقيمة المطلقة عن نقطتين ثابتتين (البؤرتين) مقدارا ثابتا، ويكون القطع الزائد على شكل منحنيين يشبهان تقريبا شكل القطع المكافئ، ولكن ليسا عبارة عن قطعين مكافئين، ويملك كل منهما ذروة ويكونان مفتوحان إما للأعلى والأسفل، أو لليمين واليسار بحسب محور التناظر للقطع.

معادلة القطع الزائد بالعلاقة:

  • في حال كان المحور ينطبق على محور الفواصل (س) وذروته مبدأ الإحداثيات (مفتوح لليمين واليسار):

(س²/أ²)-(ص²/ب²)=1

  • في حال كان المحور ينطبق على محور التراتيب (ص) (مفتوح للأعلى والأسفل):

(ص²/أ²)-(س²/ب²)=1

ما هي استخدامات القطوع المخروطية في حياتنا ؟

  •  الكواكب التي تتحرك حول الشمس جميعها تسير على شكل قطع ناقص، بحيث تكون الشمس عبارة عن إحدى بؤرتي القطع.
  • الخزانات الشمسية يستخدم بها المرايا المكافئة لتقوم على تجميع أشعة الشمس لتحويلها لحرارة واستخدامها بالتسخين، والتي تعتمد على خاصية القطع المكافئ.
  • يدخل استخدام القطع المكافئ في عملية صناعة المصابيح الأمامية للسيارة والأضواء الكاشفة؛ لأنه يقوم على  تركيز شعاع الضوء.
  • يستخدم القطع الزائد في بعض أنظمة الملاحة على المدى الطويل .
  • تستخدم أيضا المرايا المكافئة والعدسات القطعية الزائدة في أنظمة التلسكوبات .
  • يستخدم القطع الزائد في المجال العسكري، حيث يمكّننا من تحديد المكان الذي يتواجد به العدو عن طريق تحديد مكان صوت إطلاق النار بواسطة جهاز الرادار.
السابق
الأعداد المركبة
التالي
طريقة عمل بحث جامعي