المناهج

حل رياضيات 3 الفصل الثاني المصفوفات مقررات

فهرس المقاله

اوجد كلا من النظير الجمعي والنظير الضربي لكل عدد مما يأتي 

الحل : 

-4 , \frac{1}{4}                                              15 , -\frac{1}{15}                                          -0.2 , 5

1.35 , -\frac{20}{27}                                   \frac{3}{4}, -\frac{4}{3}                                                -2\tfrac{1}{3}, \frac{3}{7}

بسط كل عبارة مما يأتي 

الحل : 

 6x + 12y  

 4x +17 = 4x+20-3 

-19x + 6 = -12x -7x +6

 \frac{26}{3}x - \frac{76}{3}= 10x -25 - \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}

17x - 3y -9 = 12x-6 -3y +3x +2x -3

حل نظام المعادلتين في كل ما يأتي جبريا 

الحل : 

2x - x - 3 = -1 x=2 y = 2+3 = 5 (2.5)

2x - 5y = -18 \rightarrow(1) , 3x + 4y = 19 \rightarrow (2) , 3 * (1)\rightarrow 6x - 15y = -54 2 * (2)\rightarrow (-) 6x + 8y = 38 -23y = -92 y = 4 2x - 5 (4) =-18 2x -20 = -18 2x = -18 +20 = 2 x = 1

استعمل المصفوفة للإجابة على الأسئلة التالية

 ما رتبة B

 ما قيمة B32

الحل : 

 2\times 3

-1

تحقق من فهمك

بيتزا

نظم هذه البيانات فى مصفوفة  على ان تكون الاسعار مرتبة تصاعديا

حدد رتبة المصفوفة

ما قيمة العنصرa_{21}

الحل : 

\begin{bmatrix} 2 &3 &4 \\ 2.5 &3.5 &5 \\ 3 & 4 &5.5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

4\times 3

3 ريال

تحقق من فهمك محافظات 

نظم البيانات فى المصفوفة

الحل : 

\begin{vmatrix} 9 &7 \\ 12 &8 \\ 4 & 4\\ 5& 7 \end{vmatrix}

 اجمع عناصر كل عمود وفسر النتائج

الحل : 

مجموع عناصر كل من العمودين الاول والتانى هما 30,26 ويمثلان عدد الحافظات فى كل منهم من الفئتين ا وب 

اجمع عناصر كل صف وفسر النتائج

الحل : 

مجموع عناصر كل من الصفوف الأول والتانى والثالث والرابع هى على الترتيب 16 ثم 20 ثم 8 ثم 12 وتمثل عدد المحافظات من الفئتين أ وب فى كل من مكة المكرمة والرياض والمدينة المنورة والقصيم على الترتيب 

 هل ايجاد معدل عناصر كل صف او عناصر كل عمود يعطى بيانات ذات المعنى

الحل : 

معدل عناصر كل صف او كل عمود ليس له معنى 

حدد رتبة كل مصفوفة فيما يأتى

الحل : 

2\times 4

4\times 1

3\times 2

إذا كانت \begin{bmatrix} 1 & -6 &x &-4 \\ -2& 3& -1& 9\\ 5&-8 &2 &12 \end{bmatrix}=A، فحدد كل عنصر فيما يأتى 

 الحل :

a_{32}=  8-

 a_{11}1

 a_{33}2

 a_{24}9

 زراعة نظم البيانات فى مصفوفة 

 الحل :

\begin{bmatrix} 540 &570 & 488&500 \\ 850 &1015 &800 &820 \end{bmatrix}

 زراعة ما النوع الاقل انتاجاً 

 الحل :

الباذنجان

 زراعة اجمع عناصر كل صف  هل لهذه المجاميع معنى  وفسر اجابتك

 الحل :

الصف1: 2098 ، ويمثل إجمالى عدد صناديق الخضروات المذكورة التى تنتجها المزرعة1

الصف2: 3485 ، ويمثل إجمالى عدد صناديق الخضروات المذكورة العتى تنتجها المزرعة 2

 زراعة اجمع عناصر كل عمود وفسر اجابتك

 الحل :

المجاميع هى 1390 ،1585 ، 1288 ،1320

تمثل إجمالى عدد الصناديق التى تنتجها المزرعتان معاً من الخيار والكوسة و الباذنجان و الطماطم على الترتيب

 

حدد رتبة كل مصفوفة فيما يأتى 

 الحل :

  1\times 2

 2\times 2

2\times 4

 3\times 3

 3\times 1

 1\times 1

إذا كانت  B=\begin{vmatrix} 10 & -8&2\chi \\ -2 & 19 & 4 \end{vmatrix}  A=\begin{vmatrix} 6 &y \\ -9 &31 \\ 11& 5 \end{vmatrix}فما قيمة كل عنصر فيما يأتى

 الحل :

a_{21} 9

 b_{22}=  19

 b_{13} 2x

a_{12}=  y

 

نظم البيانات الأتية فى مصفوفة 

\begin{vmatrix} 221 & 201 &185 & 607\\ 168 & 233 &159 &560 \\ 187 & 189 & 211 & 587 \end{vmatrix}

 تخزين

نظم البيانات فى مصفوفة على أن تكون محتويات المخازن أعمدة المصفوفة 

 أوجد مجموع عناصر كل عمود ، وماذا يمثل هذا المجموع

 أوجد مجموع عناصر كل صف وماذا يمثل هذا المجموع 

 الحل :

\begin{bmatrix} 2000 & 3000&2750 \\ 1200 &1175 &1500 \\ 500& 2250 & 1300 \end{bmatrix}

مخزن1: 3700

مخزن2: 6425

مخزن3: 5950

وتمثل عدد الكيلوجرامات من التمر التى يحويها كل مخزن

 

مجموع عناصر الصف الاول :    7750

مجموع عناصر الصف الثانى       3375

مجموع عناصر  الصف الثالث     4450

وتمثل إجمالى الكيلوجرامات الموجودة فى المخازن الثلاثة من كل نوع 

 

إذا كانت B=\begin{bmatrix} 9 &-3 &7 \\ 4\chi &18 & -6 \end{bmatrix} ، @=\begin{vmatrix} 23 &11 \\ \chi &-5 \\ -12 & 15 \end{vmatrix} فحدد كل عنصر مما يلى 

 الحل :

a_{32}15

b_{21}4x

b_{12}3-

 a_{21}x

 

 

نظم البيانات فى مصفوفة على أن تكون محتويات المخازن أعمدة المصفوفة  

 أوجد مجموع عناصر كل عمود ، وماذا يمثل هذا المجموع 

 أوجد مجموع عناصر كل صف وماذا يمثل هذا المجموع  

 الحل :

 

مخزن1: 3700 

مخزن2: 6425 

مخزن3: 5950 

وتمثل عدد الكيلوجرامات من التمر التى يحويها كل مخزن 

  

مجموع عناصر الصف الاول :    7750 

مجموع عناصر الصف الثانى       3375 

مجموع عناصر  الصف الثالث     4450 

وتمثل إجمالى الكيلوجرامات الموجودة فى المخازن الثلاثة من كل نوع  

  

أوجد الناتج فى كل مما يأتى اذا كان ممكناً

 الحل :

\begin{bmatrix} 12 &-5 \\ -8 &-3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -6 & 11\\ -7 & 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 12+(-6) &-5+11 \\ -8+(-7) & -3+2 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 6 &6 \\ -15 & -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 9 & 5\\ -2 & 16 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -6 & -3 & 7\\ 12 & 2 & -4 \end{bmatrix}    غير ممكن

 

اكتب المصفوفة C التى تمثل الاسعار الحالية

 الحل :

C=\begin{bmatrix} 3 &4 &5 \\ 2& 3& 4\\ 2& 3 &4 \\ 4& 5 & 6 \end{bmatrix}

 

ما العدد الذى يمكن ان نضرب المصفوفة C  فيه لايجاد  المصفوفة  N التى تمثل الاسعار الجديدة

الحل 

0.1+1=1.1

جد المصفوفة N

 الحل :

N=1.1\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 &4 \\ 2 & 3 &4 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3.3 &4.4 &5.5 \\ 2.2 & 3.3&4.4 \\ 2.2 &3.3 &4.4 \\ 4.4 & 5.5 & 6.6 \end{bmatrix}

 

جد المصفوفة N-C ، ماذا تمثل هذة المصفوفة فى هذه الحاله

 الحل :

\begin{bmatrix} 3.3 & 4.4 & 5.5\\ 2.2 & 3.3 & 4.4\\ 2.2 & 3.3 &4.4 \\ 4.4 & 5.5& 6.6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 2 & 3& 4\\ 2 & 3 &4 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}=N-C

\begin{bmatrix} 0.3 &0.4 &0.5 \\ 0.2 & 0.3 &0.4 \\ 0.2 & 0.3 &0.4 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \end{bmatrix}=

تمثل هذة المصفوفة الزيادة فى سعر كل صنف

 

تكون نظام المعادلات من الحدود المتناظرة

 الحل :

7x-y-9z=1\leftarrow 2x-y=9z-5x+1

7x-3y-4z=0\leftarrow 7x-8z=3y-4z

5x-5y+4z=0\leftarrow 3x+4z=5y-2x

-12x+3y+12z=0\leftarrow 5y+12z=12x+2y

حل نظام المعادلات بأستخدام المصفوفات 

 الحل :

\begin{Bmatrix} (7,-1-9,1) \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} 7,-3,-4,0 \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} 5,-5,4,0 \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} -12,3,12,0 \end{Bmatrix}

الحل 

(-8,-12,-5)

مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة بأستعمال بيانات من واقع الحياة تكون مجاميع عناصر اعمدتها ذات معنى ومجميع عناصر صفوفها ليست ذات معنى

 الحل :

\begin{bmatrix} 12 &53 &140 \\ 15& 60& 150\\ 12& 45 &130 \end{bmatrix}

 اشرح كيف يمكن ان تساعدك المصفوفات عندما تقرر اخيار الجامعة التى ترغب فى الالتحاق بها

 الحل :

يمكن ترتيب البيانات المتعلقة بالتخصصات المختلفة و الجامعات فى مصفوفة لتسهيل مقارنة البيانات بعضها ببعض.

تدريب على اختبار

 نظمت نتائج استطلاع للرأى فى المصفوفةالمجاورة بالاعتماد على هذة النتائج اى استنتاج مما يأتى ليس صحيحاً

 الحل :

الاختيار الصحيح: (D) عدد الأصوات المؤيدة للمرشح الاول أكبر من عدد الأصوات المؤيدة للمرشح الثالث

 مجلس الادارة

بالتعويض عن قيمة y من المعادلة (3) فى المعادلتين (2) , (1)

وبضرب المعادلةx+3z=486 فى 3 وبالطرح

(1) x +y+ z = 490

(2) 3x + 2y + z =878

(3) y =2z + 4

 الحل :

z=147                       x=45                          y=298

اول   45

ثانى 298

ثالث  147

ثقافة مالية

الربح فى كعكة الفواكه

الربح فى كعكة الشوكولاته 

الربح

 الحل :

 26=39-13=x

25=44-19=y

26x+25y=

x\geq 3                                                y\geq 3

يكون الربح اكبر ما يمكن 309

3 كعكات شوكولاته  و9 كعكات فواكه

احسب قيمة كل عبارة مما يأتى إذا كان w=3 , x=-2 ,y=4, z=0.5

 الحل :

4x-6y+2z

4(-2)-6(4)+2(0.5)=-8-24+1=-31

5w+2(x-z)+2y

5(3)+2(-2-0.5)+2(4)=15-5+8=18

4\begin{bmatrix} 3(2z+y)-2(w+x) \end{bmatrix}

4(3(2(0.5)+4)-2(3+(-2))=4(15-2)=52

 

إذا كانت B=\begin{bmatrix} 9 &-3 &7 \\ 4\chi &18 & -6 \end{bmatrix} ، @=\begin{vmatrix} 23 &11 \\ \chi &-5 \\ -12 & 15 \end{vmatrix} فحدد كل عنصر مما يلى 

 الحل :

a_{32}15

b_{21}4x

b_{12}3-

a_{21}x

 

اكتب مصفوفة تمثل البيانات المعطاه 

 الحل :

\begin{bmatrix} 2410 &2455 \\ 2210&2255 \\ 200& 2245\end{bmatrix}

ما رتبة المصفوفة فى فرع A 

 الحل :

3\times 2

اذا كانت B=\begin{vmatrix} 0 &\chi &-2y \\ 5\chi & 3y &-4\chi \\ -y & 0& 0 \end{vmatrix}، A=\begin{vmatrix} \chi ^{2}+4 &y+6 \\ \chi -y & 2-y \end{vmatrix} فحدد كل عنصر مما يأتى 

 الحل :

a_{11}\chi ^{2} +4

a_{22}2-y

 a_{31}-y

 a_{23}=-4\chi

 

 نظم المسافات فى مصفوفة A

  عطارد

  الزهرة 

 المريخ

  زحل 

  اورانس

  نبتون

 الحل :

\begin{vmatrix} 36.00 &57 \\ 67.24 &26 \\ 141.71 &35 \\ 483.88 &370 \\ 887.14 &744 \\ 1783.98 & 1607\\ 2796.46& 2680 \end{vmatrix}

 ما رتبة المصفوفة الناتجة  

 الحل :

7\times 2

ما قيمة العنصر a_{42}

 الحل :

370

 تمثيلات متعددة 

 جدوليا نظم البيانات فى مصفوفة على أن يمثل عدد الأهداف وعدد التمريرات عموداها

  جبرياً أوجد مجاميع عناصر كل عمود 

 جدولياً بدل البيانات فى المصفوفة على ان تصبح عناصر الاعمدة هى عناصر الصفوف

جبرياً أوجد مجاميع عناصر كل صف

 الحل :

\begin{vmatrix} 8 & 3\\ 6 & 5\\ 1 &8 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}

الأهداف 18

التمريرات 19

الأهداف  18

التمريرات  19

 تحليلياً هل هناك تأثيرات فى البيانات عند تبديل عناصر الصفوف والاعمدة 

عند تبديل عناصر الصفوف والأعمدة فأن البيانات لا تتأثر

تكون نظام المعادلات من الحدود المتناظرة

7x-y-9z=1\leftarrow 2x-y=9z-5x+1

7x-3y-4z=0\leftarrow 7x-8z=3y-4z

5x-5y+4z=0\leftarrow 3x+4z=5y-2x

-12x+3y+12z=0\leftarrow 5y+12z=12x+2y

بحل نظام المعادلات بأستخدام المصفوفات 

\begin{Bmatrix} (7,-1-9,1) \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} 7,-3,-4,0 \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} 5,-5,4,0 \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix} -12,3,12,0 \end{Bmatrix}

الحل :

(-8,-12,-5)

أنشئ مصفوفة باستعمال بيانات من واقع الحياة تكون مجاميع عناصر اعمدتها ذات معنى و مجميع عناصر صفوفها ليست ذات معنى

الحل :

\begin{bmatrix} 12 &53 &140 \\ 15& 60& 150\\ 12& 45 &130 \end{bmatrix}

 اكتب  اشرح كيف يمكن ان تساعدك المصفوفات عندما تقرر اخيار الجامعة التي ترغب في الالتحاق بها

الحل :

يمكن ترتيب البيانات المتعلقة بالتخصصات المختلفة و الجامعات فى مصفوفة لتسهيل مقارنة البيانات بعضها ببعض

نظمت نتائج استطلاع للرأى فى المصفوفةالمجاورة بالاعتماد على هذة النتائج اى استنتاج مما يأتى ليس صحيحاً

الحل :

الاختيار الصحيح: (D) عدد الأصوات المؤيدة للمرشح الاول أكبر من عدد الأصوات المؤيدة للمرشح الثالث

مجلس الادارة

(1) x +y+ z = 490

(2) 3x + 2y + z =878

(3) y =2z + 4

الحل :

بالتعويض عن قيمة y من المعادلة (3) فى المعادلتين (2) , (1)

وبضرب المعادلةx+3z=486 فى 3 وبالطرح

z=147                       x=45                          y=298

اول   45

ثانى 298

ثالث  147

ثقافة مالية

الربح فى كعكة الفواكه

الربح فى كعكة الشوكولاته

الربح

الحل :

 26=39-13=x

 25=44-19=y

26x+25y=

x\geq 3                                                y\geq 3

يكون الربح اكبر ما يمكن 309

3 كعكات شوكولاته  و9 كعكات فواكه

احسب قيمة كل عبارة مما يأتى إذا كان w=3 , x=-2 ,y=4, z=0.5

4x-6y+2z

الحل :

4(-2)-6(4)+2(0.5)=-8-24+1=-31

احسب قيمة كل عبارة مما يأتى إذا كان w=3 , x=-2 ,y=4, z=0.5

5w+2(x-z)+2y

الحل :

5(3)+2(-2-0.5)+2(4)=15-5+8=18

احسب قيمة كل عبارة مما يأتى إذا كان w=3 , x=-2 ,y=4, z=0.5

4\begin{bmatrix} 3(2z+y)-2(w+x) \end{bmatrix}

الحل :

4(3(2(0.5)+4)-2(3+(-2))=4(15-2)=52

ادخل البيانات الواردة فى فكرة لماذا؟ بداية الدرس فى  برنامج الجداول الالكترونية

الحل :

يدخل الطالب البيانات فى برنامج الجداول الالكترونية

 قارن بين تنظيم البيانات فى الجداول الالكترونية وتنظيمها فى المصفوفة

الحل :

كلاهما يستعمل الصفوف والاعمدة لكن فى برنامج الجداول الالكترونية تتميز

الصفوف باستعمال الااعداد على حين تتميز الاعمدة باستعمال الحروف.

اما فى المصفوفة تتميز كل من الصفوف و الاعمدة باستعمال الاعداد.

يمكنك ايجاد مجاميع مدخلات الصفوف والاعمدة فى الجداول الالكترونية بأستعمل الامر (sum )

a) يمكنك ايجاد مجموع مدخلات العمود B بأستعمال الصيغة (SUM(B1:B8=  ادخل صيغاً مشابهه فى الخلايا B9,C9,E9,D9  لتجد مجاميع مدخلات الاعمدة الاخرى. ماذا تمثل مجاميع مدخلات هذة الاعمدة

b)  ادخل صيغاً مشابهة فى الخلايا من F1 حتى F8  لايجاد مجاميع مدخلات الصفوف من 1 الى 8 ماذا تمثل هذة المجاميع فى  هذه الحاله

c) أوجد مجموع مدخلات الصف 9، ومجموع مدخلات العمود F ماذا نلاحظ فسر اجابتك

الحل :

a) مجاميع عناصر الاغمدة 346 ، 236 ، 234 ، 223 وتمثل اجمالى ما بيع من التمور فى الاسابيع الاربعة

b) خلاص 73 ومكتومى 116 وخضرى 231 وسلج 214 وعجوة 1115 وسكرى 76 ومنيفى 102 وصقعى 112 ، تمثل مجاميع الصفوف إجمالى ما بيع بالكيلو جرام من كل نوع من انواع التمور فى الاسابيع الاربعة

c) المجموع فى كلتا المجموعتين هو 1039 ومجموع حاصل جمع الصفوف يساوى مجموع حاصل جمع الاعمدة لان الاعمدة كلا منهما تمثل مجموع ما بيع من كل انواع التمور فى جميع الاسابيع

تحقق من فهمك 

 =\begin{vmatrix} -3 &4 \\ -9&-5 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} -4 &12 \\ 8 & -7 \end{vmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 1 & -8\\ -17 &2 \end{vmatrix}

تحقق من فهمك 

 =\begin{vmatrix} -9 &8 &3 \\ -2&4 &-7 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -4 &-3 &6 \\ -9&-5 &18 \end{vmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} -13 & 5 & 9\\ -11& -1 & 11 \end{vmatrix}

إذا كانت T=\begin{vmatrix} 8 & 0 &3 &-2 \\ -1 & -4 & -2& 9 \end{vmatrix} ،  فأوجد  -4T

الحل :

-4T=\begin{vmatrix} -32 &0 &-12 &8 \\ 4&16 &8 &-36 \end{vmatrix}

إذا كانت B=\begin{vmatrix} 12 &5 \\ 5& -4\\ 4&-7 \end{vmatrix}، A=\begin{vmatrix} -5 &3 \\ 6& -8\\ 2&9 \end{vmatrix}  فأوجد -6B+7A

الحل :

 

 -6B=\begin{vmatrix} -72 &-30 \\ -30& 24\\ -24&42 \end{vmatrix} ، 7A=\begin{vmatrix} -35 &-21 \\ -42& -56\\ -14&63 \end{vmatrix}

-6B+7A =\begin{vmatrix} -107 & -9\\ 12 &-32 \\ -10 & 105 \end{vmatrix}

 

استعمل البيانات اعلاه لحساب معدل المبيعات والنفقات الشهرى لجميع المعارض على فرض ان الشهر 30 يوم

الحل :

\begin{vmatrix} 241800 &19578000 \\ 312000 &26286000 \\ 327600& 31226000 \end{vmatrix}

أوجد الناتج فى كل مما يأتى إذا كان ذلك ممكناً

\begin{bmatrix} 8 &2 &6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 11 & -7 &1 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 3 &-5 &7 \end{bmatrix}=

أوجد الناتج فى كل مما يأتى إذا كان ذلك ممكناً

 

\begin{bmatrix} 9 &-8 &4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 12 & 2 \end{bmatrix}

الحل :

 غير ممكن

أوجد الناتج فى كل مما يأتى إذا كان ذلك ممكناً

 

\begin{bmatrix} 7 & -12\\ 15 & 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 9 &6 \\ 4 & -9 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} -2 &18 \\ 11& 13 \end{bmatrix}=

أوجد الناتج فى كل مما يأتى إذا كان ذلك ممكناً

 

 \begin{bmatrix} 5 &13 &-6 \\ 3 &-17 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -2 &-18 &8 \\ 2 &-11 & 0 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 7 &31 &-14 \\ 1 & -6 & 2 \end{bmatrix}=

اوجد الناتج فى كل مما يأتى

3\begin{bmatrix} 6 &4 &0 \\ -2 &14 &-8 \\ -4 &-6 & 7 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 18 & 12 & 0\\ -6 & 42& -24\\ -12&-18 & 21 \end{bmatrix}=

اوجد الناتج فى كل مما يأتى

 

 -6\begin{bmatrix} 15 & -9 & 2&3 \\ 6 & -11 &14 & -2\\ 4 & -8 & -10 & 27 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} -90 & 54 & -12 &-18 \\ -36 &66 & -84 &12 \\ -24 &48 & 60 & -162 \end{bmatrix}=

 

إذا كان @ C=\begin{bmatrix} -4 &-6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix}   @ B=\begin{bmatrix} 8 &-1 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}   A=\begin{bmatrix} 6 &-4 \\ 3 &-5 \end{bmatrix}  فأوجد ناتج كل مما يأتى 

 4B-2A

الحل :

4\begin{bmatrix} 8 & -1\\ -2 & 7 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 6 &-4 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}=4B-2A

\begin{bmatrix} 4.8 &4.(-1) \\ 4.(-2) & 4.7 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2.6 &2.(-4) \\ 2.3 & 2.(-5) \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 32 &-4 \\ -8 & 28 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 12 &-8 \\ 6 & 10 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 32-12 & (-4)-(-8) \\ (-8)-6 & 28-(-10) \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 20 &4 \\ -14 & 38 \end{bmatrix}

إذا كان @ C=\begin{bmatrix} -4 &-6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix}   @ B=\begin{bmatrix} 8 &-1 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}   A=\begin{bmatrix} 6 &-4 \\ 3 &-5 \end{bmatrix}  فأوجد ناتج كل مما يأتى 

 8C + 3A-

الحل :

-8\begin{bmatrix} -4 &-6 \\ 12& -7 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 6 &-4 \\ 3& -5 \end{bmatrix}= -8C+3A

\begin{bmatrix} 32 &48 \\ -96&56 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 18 &-12 \\ 9& -15 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 50 & 36\\ -87 & 41 \end{bmatrix}=

درجات الحرارة الفرق ما بين المعدل الشهرى لدرجات الحرارة العظمى والصغرى = H-L

الحل :

\begin{bmatrix} 39.9 & 45.2 & 55.3\\ 65.1& 74.0 &82.3 \\ 85.9& 84.6 &78.1 \\ 66.9& 54.5 & 44.3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 24.1 & 27.7 &35.9 \\ 44.1 & 53.6&62.2 \\ 66.4& 64.9 &57.9 \\ 46.4 & 37.3 & 28.4 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 15.8 &17.5 &19.4 \\ 2120.4 & &20.1 \\ 19.5& 19.7 & 20.2\\ 20.5 & 17.2 & 15.9 \end{bmatrix}=

 

أوجد الناتج فى كل مما يأتى اذا كان ممكناً

\begin{bmatrix} 12 &-5 \\ -8 &-3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -6 & 11\\ -7 & 2 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 12+(-6) &-5+11 \\ -8+(-7) & -3+2 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 6 &6 \\ -15 & -1 \end{bmatrix}

أوجد الناتج فى كل مما يأتى اذا كان ممكناً

\begin{bmatrix} 9 & 5\\ -2 & 16 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -6 & -3 & 7\\ 12 & 2 & -4 \end{bmatrix}    

الحل :

غير ممكن

 

مشروبات 

a) اكتب المصفوفة C التى تمثل الاسعار الحالية

b) ما العدد الذى يمكن ان نضرب المصفوفة C  فيه لايجاد  المصفوفة  N التى تمثل الاسعار الجديدة 

c) جد المصفوفة N

d) جد المصفوفة N-C  ماذا تمثل هذة المصفوفة فى هذه الحاله

الحل :

 

C=\begin{bmatrix} 3 &4 &5 \\ 2& 3& 4\\ 2& 3 &4 \\ 4& 5 & 6 \end{bmatrix}

0.1+1=1.1

N=1.1\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 &4 \\ 2 & 3 &4 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3.3 &4.4 &5.5 \\ 2.2 & 3.3&4.4 \\ 2.2 &3.3 &4.4 \\ 4.4 & 5.5 & 6.6 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 3.3 & 4.4 & 5.5\\ 2.2 & 3.3 & 4.4\\ 2.2 & 3.3 &4.4 \\ 4.4 & 5.5& 6.6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 2 & 3& 4\\ 2 & 3 &4 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}=N-C

\begin{bmatrix} 0.3 &0.4 &0.5 \\ 0.2 & 0.3 &0.4 \\ 0.2 & 0.3 &0.4 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \end{bmatrix}=

تمثل هذة المصفوفة الزيادة فى سعر كل صنف

 

أوجد الناتج فى كل مما يأتى ان امكن، واذا تعذر ذلك فاكتب لا يمكن مع ذكر السبب

الحل :

 \begin{bmatrix} -5\\ 8\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 19\\ -2\\ 4\\ 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 24\\ -10\\ 3\\ 7 \end{bmatrix}=

  \begin{bmatrix} 4 & -3 & 3\\ -8 &12 & 1\\ 0& -1& 5\\ 7&-9 &4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-3 & -8&12 \\-11 &-5 & 3\\ -1& 22& -9\\-6 &31 &9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & 5 &-9 \\ 3& 17 &-2 \\ 1 &-23 &14 \\ 13& -40 & -5 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 62\\ -37\\-4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 34& 76&-13 \end{bmatrix}

لا يمكن الاختلاف رتبة المصفوفتين

\begin{bmatrix}2 & 4&11 \\ -6&12 & -3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 8& -9& -3\\ 5& 14&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -6 & 13& 14\\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix}5 \\ -9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-3 \\ -7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 9\\ 16\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5+(-3)\\ -9+(-7) \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 9\\ 16 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 2-9\\ -16-16 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 16 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 9\\ 16 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -7\\ -32 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 5\\3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4\\ 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2&3 \\ 8& -3\end{bmatrix}

لا يمكن الاختلاف رتب الصفوفات

كتب

a) رتب اعداد الكتب فى كل مكتبة، فى مصفوفات وارمز لها بالرموز A, B ,C

b) اوجد العدد الكلى للكتب من كل نوع فى المكتبات  الثلاثة وعبر عن ذلك بمصفوفة 

c) كم يزيد عدد الكتب من كل نوع فى المكتبة A على التى فى المكتبة C 

d) أوجد المصفوفة A+B ، هل لهذه المصفوفة معنى فى هذة الحاله  فسر اجابتك

الحل :

مكتبة     \begin{bmatrix} 10000\\ 5000\\ 5000 \end{bmatrix} A

مكتبة     \begin{bmatrix} 15000\\ 10000\\ 2500 \end{bmatrix} B

 مكتبة    \begin{bmatrix} 4000\\ 700\\ 800 \end{bmatrix} C 

\begin{bmatrix} 10000\\ 5000\\ 5000 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 15000\\ 10000\\ 2500 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4000\\ 700\\ 800 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 10000+15000+4000\\ 5000+10000+700\\ 5000+2500+800 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 29000\\ 15700\\ 8300 \end{bmatrix}=

يوجد 29000 كتاب علمى ، 15700 كتاب تاريخى ، 8300 كتاب ادبى

\begin{bmatrix} 10000-4000\\ 5000-700\\ 5000-800 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10000\\ 5000\\ 5000 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4000\\ 700\\ 800 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6000\\ 4300\\ 4200 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 10000\\ 5000\\ 5000 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 15000\\ 10000\\ 2500 \end{bmatrix}=A+B

\begin{bmatrix} 10000+15000\\ 5000+10000\\ 5000+2500 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 25000\\ 15000\\ 7500 \end{bmatrix}=

أوجد الناتج فى كل مما يأتى ان امكن واذا تعذر ذلك فأكتب لا يمكن مع ذكر السبب

الحل :

 -3\begin{bmatrix}18 &-6 & -8\\ -5& -3&12 \\0 &3x &-y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 18.(-3) & (-6) .(-3)&(-8).(-3) \\ (-5).(-3) & (-3).(-3) &12.(-3) \\ 0.(-3) &3x.(-3) & (-y).(-3) \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -54 &18 &24 \\ 15 & 9 &-36 \\ 0 &-9x & 3y \end{bmatrix}=

أوجد الناتج فى كل مما يأتى ان امكن واذا تعذر ذلك فأكتب لا يمكن مع ذكر السبب

 -4\begin{bmatrix}-7 \\ 4\\ -3\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}-8 \\ 3x\\ -9\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} &4 \\x & -6\\ & 12\end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 28\\ -16\\ 12 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -24\\ 9x\\ -27 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -20\\ -5x+30\\ -60 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 28+(-24)+(-20)\\ -16+9x+(-5x+30)\\ 12+(-27)+(-60) \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -16\\ 4x+14\\ -75 \end{bmatrix}=

أوجد الناتج فى كل مما يأتى ان امكن واذا تعذر ذلك فأكتب لا يمكن مع ذكر السبب

=-5\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 4 &-8 \\ 8 & -9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 &-2 \\ -3 &-6 \end{bmatrix} \end{pmatrix}

الحل :

بأستخدام خاصية التوزيع

-5\begin{bmatrix} 4 &-8 \\ 8 & -9 \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} 4 &-2 \\ -3& -6 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -5(4) &-5(8) \\ -5(8) & -5(-9) \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 5(4) &5(-2) \\ 5(-3) & 5(-6) \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -20 & 40\\ -25 & 75 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 20 & -10\\ -15 &- 30 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -20-20 &40+10 \\ -40+15 & 45+30 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -40 & 50\\ -25&75 \end{bmatrix}=

أوجد الناتج فى كل مما يأتى ان امكن واذا تعذر ذلك فأكتب لا يمكن مع ذكر السبب

=-6\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 3y\\ 4x+1 &-2 \\ -9 & xy \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -5 &-6 \\ 8 & -7\\ x+2 & 2x \end{bmatrix} \end{pmatrix}

الحل :

-6\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 6+(-5) &3y+(-6) \\ 4x+1+8 &-2+(-7) \\ -9+(x+2) & xy+2x \end{bmatrix} \end{pmatrix}=

\begin{bmatrix} 1(-6) &(3y-6)(-6) \\ (4x+9)(-6) &-9(-6) \\ (x-7)(-6) & (xy+2x)(-6) \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -6 &-18y+36 \\ -24x-54& 54\\ -6x+42 & -6xy-12x \end{bmatrix}=

أجر العمليات على المصفوفات الاتيه إن امكن ، واذا تعذر ذلك اكتب لا يمكن مع ذكر السبب

=-2\begin{bmatrix} -9.2 &-8.4 \\ 5.6 & -4.3 \end{bmatrix}-4\begin{bmatrix} 4.1 &-2.9 \\ 7.2 & -8.2 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 18.4 &16.8 \\ -11.2 & 8.6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 16.4 &-15.6 \\ 28.8 & -32.8 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 2 & 32.4\\ -40 & 41.4 \end{bmatrix}=

أجر العمليات على المصفوفات الاتيه إن امكن ، واذا تعذر ذلك اكتب لا يمكن مع ذكر السبب

-\frac{3}{4}\begin{bmatrix} 12 &-16 \\ 15&8 \end{bmatrix}+\frac{2}{3}\begin{bmatrix} 21 &18 \\ -4 & -6 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} -9 &12 \\ -\frac{45}{4}& -6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 14 &12 \\ \frac{8}{3} & -4 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 5 &24 \\ -\frac{103}{12} & -10 \end{bmatrix}=

برهان برهن على أن عملية جمع المصفوفات من النوع  2X2 تبديلية

افرض انA=\begin{bmatrix} a &b \\ c&d \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} e &f \\ g & h \end{bmatrix}   . لتوضيح أن خاصية الإبدال على جمع المصفوفات صحيحة للمصفوفة من النوع 2X2 

بين أن A+B = B+A

الحل :

البرهان:

\begin{bmatrix} a &b \\ c&d \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e &f \\ g & h \end{bmatrix}= A+B   بالتعويض

\begin{bmatrix} a+e &b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix}=       تعريف الجمع على المصفوفات

\begin{bmatrix} e+a &f+b \\ g +c& h+d \end{bmatrix}=   خاصية الإبدال على جمع الاعداد الحقيقية

\begin{bmatrix} e &f \\ g& h \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}=  تعرف الجمع على المصفوفات 

B+A=   بالتعويض

برهن على أن عملية جمع المصفوفات من النوع 2X2 تجميعية

افرض ان A=\begin{bmatrix} a &b \\ c&d \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} j &k \\ m &n \end{bmatrix}  لإثبات أن خاصية التجميع صحيحة على جميع المصفوفات من النوع 2×2

بين أن \left ( A+B \right )+C=A+\left ( B+C \right )

\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e &f \\ g & h \end{bmatrix} \end{pmatrix}+\begin{bmatrix} j &k \\ m & n \end{bmatrix}=\left ( A+B \right )+C بالتعويض

الحل :

\begin{bmatrix} a+e &b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} j & k\\ m & n \end{bmatrix}=  تعريف الجمع على المصفوفات 

\begin{bmatrix} a+e+j & b+f+k\\ c+g+m & d+h+n \end{bmatrix}=  تعريف الجمع على المصفوفات

\begin{bmatrix} a+\left ( e+j \right ) &b+\left ( f+k \right ) \\ c+\left ( g+m \right ) & d+\left ( h+n \right ) \end{bmatrix}=  خاصية التجميع على الجمع على الاعداد الحقيقية 

\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}+\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} e &f \\ g& h \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} j &k \\ m &n \end{bmatrix} \end{pmatrix}=  تعريف الجمع على المصفوفات 

A +\left ( B+C \right )=     بالتعويض

 إذا كانت A =\begin{bmatrix} -3 & -4\\ 8 & 6 \end{bmatrix},B\begin{bmatrix} 5 &-1 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}, 3A-4B+6C=\begin{bmatrix} 13 &22 \\ 10& 4 \end{bmatrix}

فأوجد عناصر المصفوفة C

الحل :

نفرض ان C=\begin{bmatrix} c_{1} &c_{2} \\ c_{3} & c_{4} \end{bmatrix}

 

3\begin{bmatrix} -3 & -4\\ 8 & 6 \end{bmatrix}-4\begin{bmatrix} 5 & -1\\ 2 & -4 \end{bmatrix}+6\begin{bmatrix} c_{1} &c_{2} \\ c_{3} & c_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 13 &22 \\ 10 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -9-20+6c_{1} &-12-\left ( -4 \right )+6c_{2} \\ 24-8+6c_{3} & 18-\left ( -16 \right )+6c_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 13 &22 \\ 10 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -29+6c_{1} & -8+6c_{2}\\ 16+6c_{3}& 34+6c_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 13 &22 \\ 10 & 4 \end{bmatrix}

المصفوفتان متساويتان فقط إذا كانت عناصرهما المتناظرة متساوية

c_{1}=7 \leftarrow 6c_{1}=42 \leftarrow -29+6c_{1}=13

c_{2}=5 \leftarrow 6c_{2}=30 \leftarrow -8+6c_{2}=22

c_{3}=-1 \leftarrow 6c_{3}=-6 \leftarrow 16+6c_{3}=10

c_{4}=-5 \leftarrow 6c_{4}=30 \leftarrow 34+6c_{4}=4

C=\begin{bmatrix} 7 & 5\\ -1 & -5 \end{bmatrix}

 

 

حددد اذا كانت كل جملة مما يأتى صحيحة احياناً او صحيحة دائماً  او غير صحيحة ابداً للمصفوفتين A,B وفسر اجابتك

الحل :

a) اذا كانت A+B معرفة ، فأن A-B معرفة.

دائماً؛ إذا كانت  A+B  معرفة ، فإن  B,A لهما نفس الرتبة وإذا كانت B,A لهما نفس الرتبة ، فإن A-B معرفة 

b) اذا كانت K عدداً حقيقياً ، فان KA و KB معرفتان

دائماً

c) اذا كانت A-B غير معرفة ، فان B-A غير معرفة.

دائماً؛ يجب أن يكون للمصفوفتين الرتبة نفسها حتى يمكن إجراء عملية الجمع عليهما 

d) اذا كانت A و B لهما عدد العناصر نفسه ، فأن A+B معرفة

احياناً ؛ يجب أن تكون للمصفوفتين الرتبة نفسها حتى يمكن اجراء عملية الجمع عليهما 

e) اذا كانت KA و KB معرفتين ، فأن KA+KB معرفة

احياناً؛ يجب أن يكون للمصفوفتين الرتبة نفسها حتى يمكن اجراء عملية الجمع عليهما 

مسألة مفتوحة  أعط مثالا على مصفوفتين B,A  على أن تكون 

4B-3A=\begin{bmatrix} -6 &5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} 6 & 1\\ 6& 3 \end{bmatrix}=A

\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 4& 2 \end{bmatrix}=B

 أكتب اشرح كيف تجد 4D-3C لاى مصفوفتين C,D لهما الرتبة نفسها 

الحل :

اولاً  نضرب كل عنصر فى Dx4

ثانياً  نضرب كل عنصر فى Cx3

نطرح عناصر 3C من العناصر المناظرة فى 4D

النتيجة هى المصفوفة المكافئة ل 4D-3C

 

إذا كانت A=\begin{bmatrix} -3 &6 \\ -5& x\\ 8& 4y \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 16 & 4\\ x &-2 \\ 9& y \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 9 &-5 &3 &2 \\ 0& -6& 8& 1 \end{bmatrix}

فحدد كل عنصر مما يأتى 

الحل :

 a_{32}        4y

 c_{13}        3

b_{32}          غير موجودة

حل بيانياً النظام أدناه 

الحل :

4x+2y> 8

4y-3x\leqslant 12

منطقة الحل هى الملونة  باللون البرتقالى 

 سكان 

الحل :

474059-x=115393

474059-115393=x

358666=x

بسط كل عبارة مما يأتى 

4(2x-3y)+2(5x-6y)

الحل :

8x-12y+10x-12y=

18x-24y=

بسط كل عبارة مما يأتى 

 -3(2a-5b)-4(4b+a)

الحل :

-6a+15b-16b-4a=

10a-b=

بسط كل عبارة مما يأتى 

-7(x-y)+5(y-x)

الحل :

-7x+7y+5y-5x=

-12x+12y=

تحقق من فهمك 

A_{4\times 6},B_{6\times 2} 

 A_{3\times 2},B_{3\times 2}  

الحل :

 4\times 2

غير معرفة

اذا كانت @U\begin{bmatrix} 5 & 9\\ -3 & -2 \end{bmatrix},V\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 6 & -5 \end{bmatrix}  فأوجد UV

الحل :

\begin{bmatrix} 5(2)+9(6) &5(-1)+9(-5) \\ (-3)(2)+(-2)(6) & (-3)(-1)+(-2)(-5) \end{bmatrix}=UV

\begin{bmatrix} 64 & -50\\ -18 & 13 \end{bmatrix}=

 المبيعات

\begin{bmatrix} 153 & 217 &197 &249 \\ 12 & 6 &7 & 8\\ 82 &146 & 102 &158 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 273 & 527& 422& 433 \end{bmatrix} 

الحل :

شهر المحرم  237

شهر صفر 527

شهر ربيع اول 422

شهر ربيع ثان 433

إذا كانت A=\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} -3 &6 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}   فهل AB=BA 

الحل :

AB=\begin{bmatrix} -8 & 19\\ -7& 20 \end{bmatrix}, BA=\begin{bmatrix} 18 & -9\\ 9 & -6 \end{bmatrix}

AB\neq BA

 إذا كان R=\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, S=\begin{bmatrix} 4 &6 \\ -2& 5 \end{bmatrix}, T=\begin{bmatrix} -3 &7 \\ -4& 8 \end{bmatrix}

فحدد ما 

إذا كان \left ( S+T \right )R=SR+TR ام لا 

الحل :

\left ( S+T \right )R=\begin{bmatrix} 15 &38 \\ 1& 45 \end{bmatrix}

SR+TR=\begin{bmatrix} 15 &38 \\ 1& 45 \end{bmatrix}

\left ( S+T \right )R=SR+TR

نعم

حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة فى كل مما يأتى أم لا  وإن كانت معرفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة

الحل :

 A_{2\times 4}.B_{4\times 3}  معرفة ؛ 2×3

 C_{5\times 4}.D_{5\times 4}  غير معرفة

  E_{8\times 6}.F_{6\times 10}  معرفة، 8×10

أوجد الناتج فى كل مما يأتى إذا كان ذلك ممكناً

الحل :

\begin{bmatrix} -14 & 2\\ -32 & 41 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0 & 44\\ 8 & -34 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -30 & 50 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 9 &90 &-9 \\ -6 & -60& 6 \end{bmatrix}=

 غير معرفة

\begin{bmatrix} -44\\ 25 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 26 &14 &-31 \\ -22&-9 & -9 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -16 & -1\\ -6 & 10 \end{bmatrix}=

 لياقة بدنية

a) اكتب مصفوفة تمثل عدد الاشخاص المسجلين فى المستويات كلها  ومصفوفة تمثل رسوم الاشتراك فيها

b) ما المبلغ الكلى الذى يحصل عليه المركز من اشتركات المستويين الاول والتانى 

الحل :

\begin{bmatrix} 110 & 156 & 439 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 35 & 28\\ 32 &17 \\ 18 & 12 \end{bmatrix}=

لمبلغ الكلى 110( 35+28)+165(32+17)+439(18+12)=

=28185 ريالاً

إذا كانت X=\begin{bmatrix} -10 &-3 \\ 2& -8 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} -5 &6 \\ -1 & 9 \end{bmatrix},Z=\begin{bmatrix} -5 &-1 \\ -8& -4 \end{bmatrix}

فحدد إذا كانت المعادلات الاتية صحيحة للمصفوفات المعطاة 

الحل :

 XY=YX

لا 

\begin{bmatrix} 53 & -87\\ -2 & -60 \end{bmatrix}=XY

\begin{bmatrix} 62 & -33\\ 28 & -69 \end{bmatrix}=YX

واضح ان XY\neq YX

14) X\left ( YZ \right )=\left ( XY \right )Z

نعم

\begin{bmatrix} 431 &295 \\ 490 & 242 \end{bmatrix}=X\left ( YZ \right )

\begin{bmatrix} 431 &295 \\ 490 & 242 \end{bmatrix}=\left ( XY \right )Z

حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة فى كل مما يأتى  و إن كانت معرفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة

الحل :

  P_{2\times 3}.Q_{3\times 4}  معرفة 2×4

A_{5\times 5}.B_{5\times 5}   معرفة 5×5

 M_{3\times 1}.N_{2\times 3} غير معرفة 

X_{2\times 6}.Y_{6\times 3}  معرفة 2×3

 J_{2\times 1}.K_{2\times 1}  غير معرفة

S_{5\times 2}.T_{2\times 4}  معرفة 5×4

أوجد الناتج فى كل مما يأتى اذا كان ممكناً

الحل :

\begin{bmatrix} 26 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 12 &-42 \\ -6& 21 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -75 &9 \\ -17& -5 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -6 &3 \\ 44& -19 \end{bmatrix}=

غير معرفة

\begin{bmatrix} -70\\ 58 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} -40 &64 \\ 22 & 1 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 12&4 \\ -24 &-8 \end{bmatrix}=

 أجنحة فندقية

a) أكتب مصفوفة تمثل تقسيمات الابنية  ثم أكتب مصفوفة اسعار الغرف

b)أكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومى للمؤسسة  على فرض ان جميع الغرف تم تأجيرها 

c) استعمل ضرب المصفوفات  لايجاد مقدار الدخل اليومى الكلى  على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها

الحل :

I=\begin{bmatrix} 3 &2 &2 \\ 2&3 &1 \\ 4& 3& 0 \end{bmatrix},C\begin{bmatrix} 220\\ 250\\ 360 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} &1880 \\ &1550 \\ & 1630 \end{bmatrix} ريالاً

5060=1880+1550+1630 ريالاً

إذا كانP=\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 1& 2 \end{bmatrix}, Q=\begin{bmatrix} 6 &4 \\ -2& -5 \end{bmatrix},R=\begin{bmatrix} 4 &6 \\ -6& 4 \end{bmatrix}, K=2

فحدد ما اذا كانت المعادلات الاتية صحيحة للمصفوفات المعطاه 

 K\left ( PQ \right )=P\left ( KQ \right )

الحل :

\begin{bmatrix} 52 &42 \\ 4 & -12 \end{bmatrix}=K\left ( PQ \right )

\begin{bmatrix} 52 &42 \\ 4 & -12 \end{bmatrix}=P\left ( KQ \right )

صحيحة

 

 PQR=RQP

الحل :

\begin{bmatrix} -22 &240 \\ 44 & -12 \end{bmatrix}=PQR

\begin{bmatrix} 34 &-40 \\ -220 & -44 \end{bmatrix}=RPQ

غير صحيحة

 PR+QR=(P+Q)R

الحل :

\begin{bmatrix} 22 &72 \\ 14& -18 \end{bmatrix}=PR+QR

\begin{bmatrix} 22 &72 \\ 14& -18 \end{bmatrix}=(P+Q)R

صحيحة

R(P+Q)=PR+QR

الحل :

\begin{bmatrix} 10 &3 \\ -1& -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4+6 & -1+4\\ 1+(-2) &2+(-5) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 1& 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 6 &4 \\ -2& -5 \end{bmatrix}=P+Q

\begin{bmatrix} 4(10)+6(-1) &4(3)+6(-3) \\ (-6)10+4(-1)&(-6)3+4(-3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &6 \\ -6& 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10 &3 \\ -1& -3 \end{bmatrix}=R(P+Q)

\begin{bmatrix} 34 & -6\\ -64 & -20 \end{bmatrix}=R(P+Q)

\begin{bmatrix} 4(4)+(-1) (-6)&4(6) +(-1)4\\ 1(4)+2(-6)&1(6)+2(4) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 1& 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 &6 \\ -6 & 4=PR \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 22 & 20\\ -8 & 14 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 6(4)+4(-6) &6(6)+4(4) \\ (-2)4+(-5)(-6)&(-2)6+(-5)4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 &4 \\ -2& -5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 &9 \\ -6 & 4 \end{bmatrix}=QR

\begin{bmatrix} 0 &52 \\ 22 & -32 \end{bmatrix}=QR

\begin{bmatrix} 22+0 &20+52 \\ -8+22 & 14+(-32) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 22 & 20\\ -8 & 14 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 &52 \\ 22& -32 \end{bmatrix}=PR+QR

\begin{bmatrix} 22 &72 \\ 14& -18 \end{bmatrix}=PR+QR

غير صحيحة

تنيسق زهور 

a)استخدم ضرب المصفوفات لاستخدام ضر المصفوفات ؛ لإيجاد المبلغ الكلى لشراء الزهور 

b) استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلى الذى حصل عليه صاحب المحل من بيع الزهور

c) استعمل العمليات على المصفوفات لايجاد ربح المحل من بيع الزهور 

الحل :

525=\begin{bmatrix} 525 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 200(0.5)+150(1.5)+100(2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 200\\ 150\\ 100 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0.5\\ 1.5\\ 2 \end{bmatrix}ريالاً

2200=\begin{bmatrix} 2200 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 200(3)+150(6)+100(7) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 200\\ 150\\ 100 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3\\ 6\\ 7 \end{bmatrix} ريالاً

1675=\begin{bmatrix} 525 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2200 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 200\\ 150\\ 100 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0.5\\ 1.5\\ 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 200\\ 150\\ 100 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3\\ 6\\ 7 \end{bmatrix}

ربح المحل =1675 ريالاً

استعمل المصفوفات X=\begin{bmatrix} 2 &-6 \\ 3y& -4.5 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} -5 &-1.5 \\ x+2 &y \\ 13 & 12 \end{bmatrix},Z\begin{bmatrix} -3\\ x+y \end{bmatrix} لايجاد ناتج الضرب فى كل مما يأتى اذا كان ممكناً

الحل :

 XY   غير معرفة

 

 YX  \begin{bmatrix} -10-4.5y & 36.75\\ 2x+4+9y^{2}& -6x-4.5y-12\\ 3.6y+26 & -83.4 \end{bmatrix}=

 

 ZY   غير معرفة 

 

 YZ   \begin{bmatrix} -1.5x-1.5y+15\\ y^{2}+xy-3x-6\\ 1.2x+1.2y-39 \end{bmatrix}=

 \left ( XZ \right )X   غير معرفة

 X(ZZ)  غير معرفة

\left ( XX \right )Z

\begin{bmatrix} 15x+69y-12\\ -18y^{2}-18xy+20.25x+42.75y \end{bmatrix}

 

إذا كانت رتبة المصفوفة AB هى 5×8  ورتبة المصفوفة A هى 5×6 فما رتبة المصفوفة B 

الحل :

6×8

 اكتب مصفوفتين B,A على ان تكون AB=BA

الحل :

\begin{bmatrix} 2 &2 \\ 2& 2 \end{bmatrix}=A

\begin{bmatrix} 3 &3 \\ 3& 3 \end{bmatrix}=B

 جد قيم a,b,c,d التى تجعل العبارة \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 &3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 &11 \\ 20 & 29 \end{bmatrix} صحيحة

الحل :

4a+2b=10

3a+5b=11

بضرب المعادلة الاولى فى 5 والمعادلة الثانية فى 2 وبالطرح

20a+10b=50

-6a+10b=22          

14a=28                             بقسمة الطرفين على 14

a=2

4(2)+2b=10           بالتعويض عن قيمة a فى المعادلة الاولى

2b=2

b=1

4c+2d=20

3c+5d=29

بضرب المعادلة الاولى فى 5 والثانية فى 2 وبالطرح

20c+10d=100

-6c-10d=-58

14c=42                بقسمة الطرفين على 14

c=3              بالتعويض عن قيمة c  فى المعادلة الاولى 

d=4

ارجع الى فقرة لماذا بداية الدرس  واستعمل البيانات المعطاه لشرح كيفية استعمال المصفوفات فى احصاءات المبيعات للمكتبة

الحل :

 الاختيار الصحيح (A)  د6012 ريالاً

الاختيار الصحيح (C) د 4×1

 

مبيعات 

a) أكتب مصفوفة مبيعات كل اسبوع 

b) جد مجموع مبيعات الاسبوعين بأستعمال جمع المصفوفات 

الحل :

الاسبوع الاول  \begin{bmatrix} 25 & 14 &18 &5 \\ 44& 10& 13 & 8 \end{bmatrix}

الاسبوع الثانى  \begin{bmatrix} 32 &26 &15 &4 \\ 18& 38& 17& 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 57 & 40 &33 &9 \\ 62 & 48 & 30 & 10 \end{bmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 25 & 14 &18 &5 \\ 44&10 & 13 & 8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 32 & 26 & 15 & 4\\ 18 & 38& 17 & 2 \end{bmatrix} \end{pmatrix}

 مبيعات 

a) اكتب مصفوفة A تمثل عدد القمصان والبناطيل فى المحل قبل مضاعفة العدد

b) ما العدد الذى يمكن ان نضرب فيه المصفوفة A لايجاد المصفوفة M التى تمثل عدد القمصان و البناطيل بعد مضاعفته جد M

c) ماذا تمثل المصفوفة  M-A فى هذة الحالة

الحل :

A=\begin{bmatrix} 10 &10 & 15\\ 25& 35 & 45 \end{bmatrix}

M =2A=\begin{bmatrix} 20 &20 &30 \\ 50 & 70 & 90 \end{bmatrix}

M -A=\begin{bmatrix} 10 &10 &15 \\ 25 & 35 & 45 \end{bmatrix}

عدد القمصان الاضافية التى بحاجة الى تخزينها

 اختيار متعدد 

الحل :

الاختيار الصحيح   \left [ 8-12 \right ](A)

تحقق من فهمك

  \begin{vmatrix} -6 &-7 \\ 10 & 8 \end{vmatrix}

 \begin{vmatrix} 7 &5 \\ 9 & -4 \end{vmatrix}

الحل :

22=-48+70=

-73=-28-45=

جد قيمة كل مجددة فيما يأتى 

الحل :

\begin{vmatrix} -5 &9 &4 \\ -2& -1& 5\\ -4& 6 &2 \end{vmatrix}

16=(4)(-1)(-4)                                                  10=(2)(1-)(5-)

150-=(-5)(5)(6)                                               180-=(-4)(5)(9)

36-=(9)(-2)(2)                                                48-=(6)(-2)(4)

170-=(36-)+(150-)+16                                 218-=(48-)+(180-)+10

قيمة المحددة 

-218-(-170)=-48

جد قيمة كل مجددة فيما يأتى 

 \begin{vmatrix} -8 &-4 &4 \\ 0 & -5 &-8 \\ 3 &4 & 1 \end{vmatrix}

الحل :

-60=(4)(5-)(3)                                               40=(1)(5-)(8-)

256=(8-)(8-)(4)                                             96=(3)(8-)(4-)

0=(4-)(0)(1)                                                  0=(4)(0)(4)

196=60+256+0-                                           136=40+96+0

قيمة المحددة =

136-196=-60

خرائط

الحل :

قيمة المحددة =

161-231=-70

المساحة=A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 11 &9 &1 \\ 6& 4& 1\\ 3 & 15 &1 \end{vmatrix}

A=\frac{1}{2}\times -70=-35

كل وحدة على الخريطة=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\leftarrow \frac{1}{2}km

A=\frac{-35}{4}=8.75km^{2}

تحقق من فهمك

 7x+3y=37

-5x-7y=-41

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 7 & \\ -5& -7 \end{vmatrix}=7(-7)-3(-5)=-49-(-15)=-34

x=\frac{\begin{vmatrix} 37 &3 \\ -41& -7 \end{vmatrix}}{-34}=\frac{37(-7)-3(-41)}{-34}=\frac{-136}{-34}=4

y=\frac{\begin{vmatrix} 7 & 37\\ -5& -41 \end{vmatrix}}{-34}=\frac{7(-41)-37(-5)}{-34}=\frac{-102}{-34}=3

\left ( x,y \right )=\left ( 4,3 \right )

تحقق من فهمك

8x-5y=70

9x+7y=3

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 8 &-5 \\ 9& 7 \end{vmatrix}=8(7)-(-5)9=-56+45=101

x=\frac{\begin{vmatrix} 70 &-5 \\ 3& 7 \end{vmatrix}}{101}=\frac{70(7)-3(-5)}{101}=\frac{505}{101}=5

y=\frac{\begin{vmatrix} 8 &70 \\ 9& 3 \end{vmatrix}}{101}=\frac{8(3)-70(9)}{101}=\frac{-606}{101}=-6

\left ( x,y \right )=\left ( 5,-6 \right )

تحقق من فهمك 

3x+5y+2z=-7

-4x+3y-5z=-19

5x+4y-7z=-15

الحل :

=(3\times 3\times -7\times -5\times 5+2\times -4\times 4)-(2\times 3\times 5+3\times -5\times 4+5\times -4\times -7)

=-220-110=-330

x=\frac{\begin{vmatrix} -7 & 5 & 2\\ -19 & 3& -5\\ -15& 4 &-7 \end{vmatrix}}{-330}=\frac{370-715}{-330}=\frac{-237}{-330}=\frac{23}{22}

y=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -7 &2 \\ -4 & -19& -5\\ 5& -15 &-7 \end{vmatrix}}{-330}=\frac{694+161}{-330}=\frac{855}{-330}=-\frac{57}{22}

z=\frac{\begin{vmatrix} 3 &5 &-7 \\ -4 & 3& -19\\ 5 & 4 &-15 \end{vmatrix}}{-330}=\frac{-498-(-33)}{330}=\frac{-465}{-330}=\frac{31}{22}

(x,y,z)=(\frac{23}{22},-\frac{57}{22},\frac{31}{22})

 

حل المعادلة

6x+5y+2z=-1

-x+3y+7x=-1

5x-7y-3z=-52

الحل :

x=\frac{-1979-(-443)}{384}=\frac{-1563}{384}=-4

y=\frac{-147-(-2067)}{384}=5

z=\frac{-643-(-259)}{384}=-1

(x,y,z)=(-4,5,-1)

 

أوجد قيمة كل محددة مما يأتى

الحل :

\begin{vmatrix} 8 &6 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}=(8)(7)-(5)(6)=56-30=26

 

\begin{vmatrix} -6 &-6 \\ 8 & 10 \end{vmatrix}=(-6)(10)-(-6)(8)=-60+48=-12

 

\begin{vmatrix} -4 &12 \\ 9& 5 \end{vmatrix}=(-4)(5)-(9)(12)=-20-108=-128

 

\begin{vmatrix} 16 &-10 \\ -8& 5 \end{vmatrix}=(16)(5)-(-10)(-8)=80-80=0

    12-=(2)(2)(3-)                       24=(4)(2)(3)

    15=(3)(5-)(1)                    30-=(3-)(5-)(2-)

   32=(2-)(4-)(4)                    8-=(1)(4-)(2)

   5=(32)+(15-)+(12-)             14-=(8-)+(30-)+24

-14-5=-19

120-=(5)(6)(4)                                 72-=(6-)(6)(2)

4=(2)(2-)(1-)                                     24=(4)(2-)(3-)

72-=(3-)(4-)(6-)                              20=(1-)(4-)(5)

 

52=(72-)+120+4                           28-=(20)+(24)+(72-)

-28-52=-80

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتى

4x-2y+7z=26

5x+3y-5z=-50

-7x-8y-3z=49

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 &-2 &7 \\ 5& 3& -5\\ -7&-8 &-3 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=-386-43=-429

x=\frac{\begin{vmatrix} 26 &-2 &7 \\ -50& 3& -5\\ 49&-8 &-3 \end{vmatrix}}{-429}=\frac{1287}{-429}=-3

y=\frac{\begin{vmatrix} 4 &26 &7 \\ 5& -50& -5\\ -7&49 &-3 \end{vmatrix}}{-429}=\frac{2145}{-429}=-5

z=\frac{\begin{vmatrix} 4 &-2 &26 \\ 5& 3& 50\\ -7&-8 &49 \end{vmatrix}}{-429}=\frac{-1719}{-429}=4

حل المصفوفة التالية 

A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} -1 &7 &1 \\ 2&6 & 1\\ 4& -3&1 \end{vmatrix}

الحل :

(-6)+(28)+(-6)=16

24+3+14=41

16-41=-25

A=\frac{1}{2}(-25)=-12.5

=\begin{vmatrix} -12.5 \end{vmatrix}=12.5m^{2}

 

اوجد قيمة محددة المصفوفة من النوع 3×3 على ان تكون عناصرها على النحو التالى 

إذا كان m+n زوجيا                  a_{nm}=\begin{Bmatrix} 0\\ m+n \end{Bmatrix}

إذا كان m+n فردياً

الحل :

0=(0)(0)(0)                       0=(0)(0)(0)

0=(0)(7)(9)                         0=(0)(7)(3)

0=(3)(5)(0)                      0=(9)(5)(0)

0=0+0+0                        0=0+0+0

                                        0 =0-0

 

أعط مثالا لمصفوفة من الرتبة 2×2 تحقق الشرط المذكور فى كل مما يأتى :

a) المحددة تساوى صفرا

b)المحددة تساوى 25

c)جمع العناصر اعداد سالبة والمحددة تساوى 32-

الحل :

\begin{vmatrix} 6 &7 \\ 6& 7 \end{vmatrix}=6.7-6.7=0\leftarrow \begin{bmatrix} 6 &7 \\ 6& 7 \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} 4 & 3\\ -3 & 4 \end{vmatrix}=16-(-9)=16+9=25\leftarrow \begin{bmatrix} 4 & 3\\ -3 & 4 \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} -4 &-6 \\ -8& -4 \end{vmatrix}=(-4)(-4)-(-8)(-6)=16-48=-32\leftarrow \begin{bmatrix} -4 &-6 \\ -8& -4 \end{bmatrix}

صف التمثيلات البيانية الممكنة لنظام من المعادلتين خطيتين بمتغيرين إذا كانت محددة مصفوفة المعاملات تساوى صفرا

الحل :

إذا كانت المحددة لمصفوفة المعاملات لنظام معطى 2×2 تساوى 0 فلا يوجد حل وحيد للنظام

يمكن الا يكون للنظام حل  ويكون المستقيم انفى هذة الحالة متوازيين او يكون للنظام عدد لا نهائى من احلول حيث يكون المستقيمان منطبقين

المساحة الجانبية للمخروط

الحل :

=\pi (4)(2\sqrt{13})=

8\sqrt{13}\pi in^{2}=

جد مساحة المثلث المبين فى الشكل المجاور 

الحل :

A(2,3),B(1,-3),C(-3,1)

A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} a &b & 1\\ c& d& 1\\ e&f &1 \end{vmatrix}

\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 &3 & 1\\ 1& -3& 1\\ -3&1 &1 \end{vmatrix}

(-6)+(-9)+(1)=-14

9+2+3=14

-14-14=-28

A=\frac{1}{2}(-28)=-14

\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -14 \end{vmatrix}=14

 

حدد إذا  كانت المصفوفة معرفة ام غير معرفة 

الحل :

 A_{4\times 2}.B_{2\times 6}       معرفة 4×6

C_{5\times 4}.D_{5\times 3}          غير معرفة

 E_{2\times 7}.F_{7\times 1}        معرفة 2×1

تحقق من فهمك

x=\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 2& -2 \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &-\frac{1}{6} \\ \frac{1}{3}&-\frac{2}{3} \end{bmatrix}

الحل :

X.Y=\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 2& -2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &-\frac{1}{6} \\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3} \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}

YX=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &-\frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} &-\frac{2}{3} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 2& -2 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}

بما أن X.Y=Y.X فأن كلا من المصفوفتين نظير ضربى للاخر

أوجد النظير الضربي

D=\begin{bmatrix} 3 & 7\\ 1& -4 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 3 &7 \\ 1& -4 \end{vmatrix}=3(-4)-1(7)=-12-7=-19\neq 0

أوجد النظير الضربي

D^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d &-b \\ -c& a \end{bmatrix}=\frac{1}{-19}\begin{bmatrix} -4 &-7 \\ -1& 3 \end{bmatrix}

الحل :

=\begin{bmatrix} \frac{4}{19} &\frac{7}{19} \\ \frac{1}{19}& \frac{-3}{19} \end{bmatrix}

أوجد النظير الضربي

Q=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ -4& 3 \end{vmatrix}=6-(-4)=10\neq 0

Q^{-1}=\frac{1}{10}\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ 4& 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \frac{3}{10} &\frac{-1}{10} \\ \frac{2}{5}& \frac{1}{5} \end{bmatrix}

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربييا للاخرى فيما يأتى 

A=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -1& 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 2& 1 \end{bmatrix}

الحل :

A.B=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -1& 0 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 2& 1 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} 2+2 &4+1 \\ -1+0& -2+0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &5 \\ -1& -2 \end{bmatrix}

الاجابة لا

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربييا للاخرى فيما يأتى 

F=\begin{bmatrix} -1 &1 \\ 0& -1 \end{bmatrix},G\begin{bmatrix} -1 &-1 \\ 0& -1 \end{bmatrix}

الحل :

F.G=\begin{bmatrix} -1 &1 \\ 0& -1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} -1 &-1 \\ 0& -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1+0 &1+(-1) \\ 0+0& 0+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}=I

الاجابة نعم

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربييا للاخرى فيما يأتى 

\begin{bmatrix} 6 &-3 \\ -1& 0 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 6 &-1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix}=0-3=3\neq 0

\begin{bmatrix} 6 &-3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{(6)(0)-(-1)(-3)}\begin{bmatrix} 0 &-(-3) \\ -(-1)& 6 \end{bmatrix}

=\frac{1}{-3}\begin{bmatrix} 0 &3 \\ 1& 6 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ -\frac{1}{3}& -2 \end{bmatrix}

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربييا للاخرى فيما يأتى 

\begin{bmatrix} -3 &0 \\ 5& -2 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} -3 &0 \\ 5& 2 \end{vmatrix}=-6-0=6\neq 0

A^{-1}=\frac{1}{(-3)(-2)-(5)(0)\begin{bmatrix} 2 &0 \\ -5& -3 \end{bmatrix}}

=\frac{1}{-6}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -5& -3 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 0\\ \frac{5}{6} & 1 \end{bmatrix}

نقود نفرض أن x عدد النصف ريال y عدد الربع ريال 

x+y=25

\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y=8.5

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{vmatrix}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}

\begin{bmatrix} 1 & 1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 25\\ 8.5 \end{bmatrix}

A^{-1}=-\frac{1}{4}\begin{bmatrix} \frac{1}{4} &-1 \\ -\frac{1}{2}& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{16} &\frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} &- \frac{1}{4} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \frac{1}{16} & 0\\ 0& \frac{1}{16} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{9}{16}\\ 1 \end{bmatrix}

x=\frac{9}{16}.\frac{16}{1}=9

y=1.\frac{16}{1}=16

مع احمد 16 ربعاً و9 انصاف

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام فيما يأتى 

-2x+y=9

x+y=3

الحل :

\begin{bmatrix} -2x+y & \\ x+y & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\ 3 \end{bmatrix}

A^{1}=\frac{1}{(-2)(1)-(1)(1)}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ -1& -2 \end{bmatrix}

=\frac{1}{-3}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ -1& -2 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3}.1 &-\frac{1}{3}.(-1) \\ -\frac{1}{3}.(-1) & -\frac{1}{3}.(-2) \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} -2 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 9\\ 3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2\\ 5 \end{bmatrix}

x=-2                            y=5

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام فيما يأتى 

4x-2y=22

6x-9y=-3

الحل :

\begin{bmatrix} 4x-2y\\ 6x+9y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 22\\ -3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 &-2 \\ 6& 9 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 22\\ -3 \end{bmatrix}

A^{1}=\frac{1}{(4)(9)-(6)(-2)}\begin{bmatrix} 9 &2 \\ -6& 4 \end{bmatrix}=\frac{1}{48}\begin{bmatrix} 9 &2 \\ -6& 4 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} \frac{3}{16} &\frac{1}{24} \\ -\frac{1}{8} &\frac{1}{12} \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} \frac{3}{16} &\frac{1}{24} \\ -\frac{1}{8} &\frac{1}{12} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 6& 9 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{16} &\frac{1}{24} \\ -\frac{1}{8} &\frac{1}{12} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 22\\ -3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4\\ -3 \end{bmatrix}

x=4                      y=-3

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام فيما يأتى 

-2x+y=-4

3x+y=1

الحل :

\begin{bmatrix} -2x &y \\ 3x & y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4\\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -2 &1 \\ 3& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4\\ 1 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{(-2)(1)-(3)(1)}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}=\frac{1}{-5}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ -3& -2 \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\ \frac{3}{5}& \frac{2}{5} \end{bmatrix}

=\begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\ \frac{3}{5}& \frac{2}{5} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} -2 &1 \\ 3& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{5} &\frac{1}{5} \\ \frac{3}{5}& \frac{2}{5} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} -4\\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}

x=1                                   y=-2

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربياً للاخرى فيما يأتى 

K=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix},L\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 2& -1 \end{bmatrix}

الحل :

K.L=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 0 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0&1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0+4 &1-2 \\ 0+0& 3+0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -1\\ 0&3 \end{bmatrix}\neq I

لا تمثل نظير ضربيباً 

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربياً للاخرى فيما يأتى 

M=\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 4&5 \end{bmatrix},N=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0&0 \end{bmatrix}

الحل :

M.N=\begin{bmatrix} 0 &2 \\ 4& 5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 4 &4 \end{bmatrix}

N.M=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 &0 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 4 &5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 0&0 \end{bmatrix}

لا تمثل نظير ضربياً

حدد اذا كانت كل من المصفوفتين تمثل نظير ضربياً للاخرى فيما يأتى 

R=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} &-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}& -\frac{1}{2} \end{bmatrix},S=\begin{bmatrix} 2 &4 \\ 4& 2 \end{bmatrix}

الحل :

R.S=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} &-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}& -\frac{1}{2} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 2 &4 \\ 4& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1+(-1) &2+(-\frac{1}{2}) \\ \frac{1}{2}+(-2)& 1+(-1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2}& 0 \end{bmatrix}\neq I

لا تثمل نظير ضربياً

أوجد النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد

A=\begin{bmatrix} 3 &0 \\ 0& 2 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 3 &0 \\ 0& 2 \end{vmatrix}=6-0=6\neq 0

P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d &-b \\ -c& a \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &0 \\ 0& \frac{1}{2} \end{bmatrix}A^{-1}=\frac{1}{(3)(2)-(0)(0)}\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0& 3 \end{bmatrix}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0& 3 \end{bmatrix}=

أوجد النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد

A=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ 2& 3 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} -\frac{2}{5} &\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \end{bmatrix}A^{-1}=\frac{1}{(2)(2)-(3)(3)}\begin{bmatrix} 2 &-3 \\ -3& 2 \end{bmatrix}=\frac{1}{-5}\begin{bmatrix} 2 &-3 \\ -3& 2 \end{bmatrix}=

أوجد النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد

A=\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ -6& -1 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{bmatrix} \frac{1}{7} &-\frac{1}{7} \\ -\frac{6}{7}& -\frac{1}{7} \end{bmatrix}A^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{bmatrix} -1 &1 \\ 6& 1 \end{bmatrix}=

أوجد النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد

\begin{bmatrix} -5 &-4 \\ 4& 2 \end{bmatrix}

الحل :

A^{-1}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 2 &4 \\ -4& -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2}{6} &\frac{4}{6}\\ \frac{-4}{6} & \frac{-5}{6} \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} \frac{1}{3} &\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3}& -\frac{5}{6} \end{bmatrix}

مشتريات 

5x+6y=250

3x+3y=120

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 &6 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}=15-18=-3

A^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{bmatrix} 3 &-6 \\ -3& 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 &2 \\ 1 & -\frac{5}{3} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -10\\ 50 \end{bmatrix}

x=-10

y=50

سكان 

الحل :

\begin{bmatrix} 0.95 &0.03 \\ 0.05 & 0.97 \end{bmatrix}

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

-x+y=4

-x+y=-4

الحل :

\begin{bmatrix} -x+y\\ -x+y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4\\ -4 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{(-1)(1)-(-1)(1)}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 1& -1 \end{bmatrix}=\frac{1}{0}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 1& -1 \end{bmatrix}

ليس لها حل 

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

-x+y=3

-2x+y=6

الحل :

\begin{bmatrix} -x+y\\ -2x+y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 6 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{(-1)(1)-(-2)(1)}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 2& -1 \end{bmatrix}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 2& -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 2& -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3\\ 0 \end{bmatrix}

x=-3

y=0

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

x+y=4

-4x+y=9

الحل :

\begin{bmatrix} x+y\\ -4x+y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4\\ 9 \end{bmatrix}

A^{-1}\frac{1}{(1)(1)-(-4)(1)}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 4& 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 4& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{5} &-\frac{1}{5} \\ \frac{4}{5}& \frac{1}{5} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\ 5 \end{bmatrix}

x=-1

y=5

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

3x+y=3

5x+3y=6

الحل :

\begin{bmatrix} 3x+y\\ 5x+3y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 6 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{9-5}\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -5& 3 \end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -5& 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{4} &-\frac{1}{4} \\ -\frac{5}{4}& \frac{3}{4} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{4}\\ \frac{3}{4} \end{bmatrix}

x=\frac{3}{4}

y=\frac{3}{4}

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

y-x=5

2y-2x=8

الحل :

\begin{bmatrix} -x+y\\ -2x+2y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 8 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{-2+2}\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 2& -1 \end{bmatrix}=\frac{1}{0}\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 2& -1 \end{bmatrix}

ليس لها حل 

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

4x+2y=6

6x-3y=9

الحل :

\begin{bmatrix} 4 &2 \\ 6& -3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6\\ 9 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{-12-12}\begin{bmatrix} -3 &-2 \\ -6& 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{8} &\frac{1}{12} \\ \frac{1}{4}& -\frac{1}{6} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ 0 \end{bmatrix}

x=\frac{3}{2}                                       y=0

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

1.6y-0.2x=1

0.4y-0.1x=0.5

الحل :

\begin{bmatrix} -0.2 &1.6 \\ -0.1& 0.4 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0.5 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{(-0.2)(0.4)-(-0.1)(1.6)}\begin{bmatrix} 0.4 &-1.6 \\ 0.1& -0.2 \end{bmatrix}=\frac{1}{0.08}\begin{bmatrix} 0.4 &-1.6 \\ 0.1& -0.2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -1+2 &8-8 \\ -0.25+0.25& 2-1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5-10\\ 1.25-1.25 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5\\ 0 \end{bmatrix}

x=-5

y=0

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

4y-4x=3

3y-x=6

الحل :

\begin{bmatrix} -1 &4 \\ -1& 3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2\\ 6 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{-3(-4)}\begin{bmatrix} 3 &-4 \\ 1& -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &-4 \\ 1& -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -30\\ -8 \end{bmatrix}

x=-30                              y=-8

استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام ان امكن فيما يأتى 

2y-4x=3

4x-3y=-6

الحل :

\begin{bmatrix} -4 &2 \\ 4& -3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ -6 \end{bmatrix}

A^{-1}=\frac{1}{(-4)(-3)-(4)(2)}\begin{bmatrix} -3 &-2 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} -3 &-2 \\ -4& -4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{4}\\ 3 \end{bmatrix}

x=\frac{3}{4}                                     y=3

صف المعادلة المصفوفية لنظام معادلتين خطيتين بمتغيرين ذات العدد الانهائى من الحلول

الحل :

النظام يجب ان يحتوى على معادلتين احداهما هى حاصل ضرب عدد فى المعادلة  الاخرى 

حدد اذا كانت الجملة الاتية صحيحة دائماً  او صحيحة احياناً او غير صحيحة ابداً  وفسر اجابتك 

الحل :

المصفوفة المربعة ليس لها حل 

احياناً يكون لمصفوفة مربعة نظير ضربى إذا كان محددها لا يساوى صفر

مسألة مفتوحةأكتب معادلة مصفوفية ليس لها حل

الحل :

\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4& 6 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\ 10 \end{bmatrix}

أكتب كيف يمكن استعمال معادلات مصفوفية لحل انظمة المعادلات 

الحل :

اولاً  رتب كل المعاملات للنظام فى مصفوفة معاملات 

ثانياً  رتب المتغيرات فى مصفوفة متغيرات 

ثالثاً  رتب الثوابت فى مصفوفة ثوابت 

رابعاً  جد معكوس مصفوفة المعاملات 

خامساً اضرب طرفى المعادلة المصفوفية فى معكوس المصفوفة 

سادساً تحقق من الحل بالتعويض فى المعادلة الاصلية

جد قيمة كل محددة

\begin{bmatrix} 8 &-3 \\ 6& -9 \end{bmatrix}

الحل :

(8)(-9)-(6)(-3)=-72-(-18)=-54

جد قيمة كل محددة

 \begin{bmatrix} 9&-7 \\ -5& -3 \end{bmatrix}

الحل :

(9)(-3)-(-5)(-7)=-27-35=-62

جد قيمة كل محددة

\begin{vmatrix} 8 &6 &-1 \\ -4& 5& 1\\ -3 &-2 &9 \end{vmatrix}

الحل :

(8)(5)(9)=360

(6)(1)(-3)=-18

(-1)(-4)(-2)=-8

 

360+(-18)+-8=334

 

(-3)(5)(-1)=15

(-2)(1)(8)=-16

(9)(-4)(6)=-216

15+(-16)+(-216)=-217

334-(-217)=551

 حليب 

x+y\leq 200

x\geq 15

y\geq 21

P=8.2x+7.5y

الحل :

179 جالوناً من الحليب المبسر

21 جالوناً من الحليب الطازج

f(x,y)

8.2x+7.5y

(x,y)

1540.5

(189)7.5+(15)8.2

(15.189)

280.5

(21)7.5+(15)8.2

(15.21)

1625.3

(21)7.5+(179)8.2

(197.21)

حدد نوع الدالة الممثلة بيانياً فى كل مما يأتى 

الحل :

 دالة قيمة مطلقة 

 ثابتة

اختر الكلمة المناسبة من المفردات اعلاه لتكمل كل جملة فيما يأتى

الحل :

 الترتيب على هيئة مستطيل لمتغيرات او اعداد فى صفوف افقية واعمدة رأسية تكتب بين قوسين يسمى    المصفوفة

عملية ضرب جميع عناصر المصفوفة فى عدد تسمى  الضرب فى عدد ثابت

 تسمى المصفوفة التى تحوى الثوابت فى نظام المعادلات   مصفوفة الثوابت 

كل قيمة فى المصفوفة تسمى   عنصراً

 يسمى عدد الصفوف x الاعمدة فى المصفوفة    رتبة        المصفوفة 

 المصفوفة المربعة التى عنار القطر الرئيسى  فيها العدد 1 وباقى العناصر اصفار هى  مصفوفة الوحدة

 المصفوفة التى جميع عناصرها اصفار هى  المصفوفة الصفرية

 قيمة     المحددة       المصفوفة تساوى -1

اذا كان حاصل ضرب مصفوفتين هو مصفوفة الوحدة فان كلتا المصفوفتين تكون  نظير ضربى للاخرى

اوجد قيمة كل محددة فيما يأتى 

\leftarrow \begin{bmatrix} 2 &4 \\ 7 &-3 \end{bmatrix}

الحل :

-6-28=-34

اوجد قيمة كل محددة فيما يأتى 

\begin{vmatrix} 2 &3 &-1 \\ 0& 2& 4\\ -2& 5 &6 \end{vmatrix}

الحل :

24+(-24)+0=0

(4)+(40)+(0)=44

0-44=-44

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام فيما يأتى 

 3x-y=0

5x+2y=22

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 5& 2 \end{vmatrix}=6-(-5)=11

x=\frac{\begin{vmatrix} 0 &-1 \\ 22& 2 \end{vmatrix}}{11}=\frac{22}{11}=2

y=\frac{\begin{vmatrix} 3 &0 \\ 5& 22 \end{vmatrix}}{11}=\frac{66}{11}=6

x=2                              y=6

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام فيما يأتى 

5x+2y=4

3x+4y+2z=6

7x+3y+4z=29

الحل :

80=(4)(4)(5)

28=(7)(2)(2)

0=(3)(3)(0)

 

0=(0)(4)(7)

30=(5)(2)(3)

24=(2)(3)(4)

 

108=80+28+0

54=0+30+24

54=108-54

x=\frac{108}{54}=2

y=\frac{-162}{54}=-3

z=\frac{324}{54}=6

(2,-3,6)

حرف يدوية 

3x+2y=85

2x+4y=110

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 &2 \\ 2& 4 \end{vmatrix}=12-4=8

x=\frac{\begin{vmatrix} 85 &2 \\ 110& 4 \end{vmatrix}}{8}=\frac{(85)(4)-(110)(2)}{8}=\frac{120}{8}=15

y=\frac{\begin{vmatrix} 3 &85 \\ 2& 110 \end{vmatrix}}{8}=\frac{(3)(110)-(2)(85)}{8}=\frac{160}{8}=20

العقد 20 ريالاً والسوار 15 ريالاً

النظير الضربى للمصفوفة وانظمة المعادلات الخطية 

أوجد  النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد 

\begin{bmatrix} 7 &4 \\ 3& 2 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 7 &4 \\ 3& 2 \end{vmatrix}=14-12=2

A^{-1}=\frac{1}{(7)(2)-(3)(4)}\begin{bmatrix} 2 &-4 \\ -3& 7 \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 &-4 \\ -3 & 7 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &-2 \\ -\frac{3}{2}& \frac{7}{2} \end{bmatrix}

أوجد  النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد 

\begin{bmatrix} 2 &5 \\ -5& -13 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 2 &5 \\ -5& -13 \end{vmatrix}=(2)(-13)-(-5)(5)=-1

A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -13 & -5\\ 5& 2 \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix} 13 & 5\\ -5 &-2 \end{bmatrix}

أوجد  النظير الضربى لكل مصفوفة فيما يأتى ان وجد 

\begin{bmatrix} 6 &-3 \\ -8& 4 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} 6 &-3 \\ -8& 4 \end{vmatrix}=24-(24)=0

لا يوجد  نظير ضربى 

حل المعادلات المصفوفية فى كل مما يأتى

\begin{bmatrix} 5 &3 \\ 3& 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4\\ 0 \end{bmatrix}

الحل :

\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 &3 \\ 3& 2 \end{vmatrix}=10-9=1

A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} 2 &-3 \\ -3& 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &-3 \\ -3& 5 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8\\ -12 \end{bmatrix}

x=8                                y=-12

حل المعادلات المصفوفية فى كل مما يأتى

\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ 1& 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}

الحل :

A^{-1}=\frac{1}{(3)(2)-(1)(-1)}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -1& 3 \end{bmatrix}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -1& 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} &\frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7}& \frac{3}{7} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}

a=2                                                 b=1

نادى رياضى 

a) نظم بيانات الجدول فى المصفوفة A 

b)ما رتبة المصفوفة 

c) ما قيمة العنصرa_{23}

d) ما قيمة العنصر a_{11}

e)  اجمع عناصر كل الصفين الاول والثانى وفسر النتائج

الحل :

\begin{bmatrix} 64 &108 &31 \\ 42& 9& 68 \end{bmatrix}

2×3

68

64

\begin{bmatrix} 203\\ 119 \end{bmatrix}

تمثل اجمالى المشتركين فى جميع الرياضيات شهرياً وسنوياً

 

جد الناتج فى كل مما يأتى 

\begin{bmatrix} 2\\ -6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -3\\ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 6\\ 0 \end{bmatrix}   

الحل :

  \begin{bmatrix} 11\\ -8 \end{bmatrix}=

3\left ( \begin{bmatrix} -2 &0 \\ 6& 8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 &9 \\ -3& -4 \end{bmatrix} \right )\begin{bmatrix} -3 &27 \\ 9& 12 \end{bmatrix}=

 

جد ناتج كل مما يأتى اذا كان ذلك ممكناً

\begin{bmatrix} 3 &-7 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 9\\ -5 \end{bmatrix}

الحل :

 \begin{bmatrix} 62 \end{bmatrix}\leftarrow

\begin{bmatrix} 2 & 11 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 &8 &-5 \end{bmatrix}   غير ممكن

 مشتريات 

الحل :

اجمالى المبالغ التى دفعه راشد 

\begin{bmatrix} 4\\ 2\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 15 &10 &3 &25 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 114 \end{bmatrix}

 

السابق
تأثير دوبلر في دراسة الفلك
التالي
نظرية الهوية الثقافية