الرياضيات

ما هو الاشتقاق وما هي قواعده

ما هو الاشتقاق وما هي قواعده

ما هو الاشتقاق؟

هو طريقة إيجاد المتغير عند نقطة معينة، والمشتقة تعد معدل التغيير في نفس المتغير بالمقارنة مع أحد متغيراتها. وعلى سبيل المثال نفترض أن معادلة رياضية بها متغير (س، ص)، كما يعتبر معدل التغيير طريقة تُعرف بها مدى سرعة تغير (ص) بالنسبة لـ س عند أي قيمة  لـ (س)، أي المشتقة، حيث ينطبق هذا فيما يعني أن الاشتقاق هو طريقة لمعرفة المعدل، ومن أهم الأمثلة على الاشتقاق معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن (والتي تُعرف بالتسارع).

قواعد الاشتقاق في الرياضيات:

مشتقة المتغير السيني:

إذا كانت المعادلة ص بمتغير س، حيث س متغير يعلوه أس (مثل س2)، فهنا تعد المعادلة معادلة أسية، وهناك طريقة لحل الاشتقاق بها:

  • إذا كانت المعادلة التي نريد اشتقاقها هي: ص= س^ن، فإن مشتقة ص التي نعبر عنها ب دس/دص تساوي:ن س^ن_1 .
  • إذا كانت المعادلة المراد اشتقاقها هي: ص=ج ن^ن ، فإن: دس/دص=ن ج س^ن_1.

أمثلة:

  • إذا كان: ص=س^4 فإن: دس/دص=4س³.
  • إذا كان: ص= 2س^4، فإن: دس/دص=8س³.

مشتقة متغيرات المجموعة أو المطروحة:

هنا نتحدث عن عملية اشتقاق كل متغير من المتغيرات على حدة في حال كانت المتغيرات مطروحة او مجموعة، مع الحفاظ على علامات الجمع والطرح في أماكنها.

أمثلة:

  • إذا كان: 3ص=3س+4س^3، فإن: دس/دص=3+12س².
  • إذا كان: ع=ل^2-3ل^6، فإن: دع/دل=2ل-18ل^5.

كما رأينا في المثال السابق أن مشتقة 3س =3، وهذا لأن المتغير س يعتبر أس واحد، لذلك عندما نضرب الواحد في الثلاثة التي أمام المتغير فإن الناتج يكون 3، وعندما نطرح الأس واحد من واحد يصبح الناتج صفر، وكما هو ثابت في الرياضيات أن أي قيمة ترفع للأس صفر يكون ناتجها واحد، لذلك كانت نتيجة اشتقاق 3س هي 3.

مشتقة المتغيرات الكسرية:

تعد هذه المشتقة أحد المشتقات التي يستصعبها معظم الأشخاص، لأنها تحتوي على صيغه معقدة، ولكن هنا يجب ان نقوم بتبسيطها، كما ترتبط المشتقة الكسرية بالمشتقة الأسية، حيث أن فكرة اشتقاق المشتقة الكسرية في تحويلها إلى  مشتقة أسية، وبعد ذلك تشتق من خلال قوانين المشتقة الأسية.

أمثلة:

  • إذا كان: ص=1/س، فإن: دس/دص=-1/س^2.
  • إذا كان: ع=2/ 3س+1، فإن: دع/دس= -2/(3س+1)^2+3.

مشتقة المتغيرات المضروبة:

عندما يكون حاصل ضرب متغيرين في معادلة ما، فإن مشتقة هذه المعادلة تكون مجموع كل من: المتغير الأول مضروبة في مشتقة المتغير الثاني زائد والمتغير الثاني مضروبة في مشتقة المتغير الأول.

السابق
عناصر مقدمة البحث العلمي
التالي
القسمة