المناهج

معلومات عن مفارقة باناخ تارسكي

عند قطع كرة صلبة إلى خمس قطع وإعادة تجميعها، باستخدام حركات جامدة فقط، يمكن تشكيل كرتين صلبتين بنفس الحجم وبنفس الشكل الأصلي، هذه النظرية تعرف باسم مفارقة باناخ تارسكي.

إذا لم لا يكون هذا الشيء حقيقيا في العالم الواقعي، وتطبيقه على كرة من الذهب؟

إذا كان يمكن تقسيم المادة بشكل غير منتهي (وهذا بالطبع غير ممكن) عندها يمكن أن تتحقق النظرية. لكن القطع المعنية هي قطع غريبة لدرجة أنها ليس لديها مفهوم واضح للحجم أو القياس المرتبط بها. مفارقة باناخ تارسكي تظهر أنه ليس هناك مشكلة بكيفية وصف الحجم الذي يتطابق مع تعريفنا الأساسي للأشياء، حيث سيكون هناك دائما مجموعات غريبة لشذ عن وصفنا وتعريفنا للحجوم (أو كما أظهر المثال السابق أصبح 2=1)

هناك نسخة أخرى من النظرية مفادها أنه من الممكن يمكن للشخص أن يأخذ كرة صغيرة بحجم حبة البازلاء، ويقوم بتقطيعها إلى قطع غير منتهية، وعند إعادة جمعها يمكن أن تنتج كرة بحجم الشمس.

الطلاب عادة ما يجدون أن هذه الحقيقة غير قابلة للفهم أو التصديق. يمكن في هذه الحالة القول ان خبراء الرياضيات يخبروننا أننا يجب أن نعيد ترتيب مفاهيمنا حول الأشياء المحددة كالحجم وهو من الأمور التي تبدو بديهية بالنسبة للبعض.

الرياضيات و مفارقة باناخ

في البداية لكي تتحقق هذه النظرية ويتم تصديقها يجب عدم الاقتصار على الحركات الصلبة، بمعنى أنه يمكن أخذ المسافة [0,1]، تمديده إلى ضعف طوله ثم قطعه إلى قطعتين كليهما بنفس الطول السابق.

ثانيا، يجب أيضا عدم التقيد بالأرقام المحددة والذهاب إلى ارقام لا نهائية كي تكون المفارقة أكثر قابلية للتصديق.

الإثبات يقتضي دراسة إجراءات المجموعة على وجه التحديد، والمجموعات الفرعية لمجموعة الدوران SO(3) هي مجموعات فرعية مولدة على جيلين. تسمح هذه المجموعات الفرعية ببناء مجموعات متطابقة ويمكن حينها إنشاء نسختين أو أكثر من النسخة الأصلية، يعتمد هذا الدليل أيضا على براعة الاختيار.

مفارقة باناخ تارسكي والعالم الواقعي

مفارقة باناخ تارسكي غير ممكنة في العالم الواقعي. لأن النسخة الرياضية من المفارقة تقتضي بأن المواد لا يمكن قياسها. وهذا لا يحدث في الواقع لأن كل مادة في الواقع هي مادة يمكن قياسها، لأنها تتألف من عدد محدد من الذرات الذين يقومون بأخذ مساحة معينة. بشكل رياضي، حتى لو أصبحت المواد المنتهية غير منتهية لا يزال هناك إمكانية قياسها، لذا من أجل تحقيق النظرية يجب العمل جيدا على خلق شيء لا يمكن قياسه.

مفارقة باناخ تارسكي تقسم الكرة إلى عدد محدود من مجموعات النقاط التي لا حد لها، والكلمة المفتاحية في هذه النظرية هي محدود. في الواقع، يمكن تقسيم الكرة على عدد محدود كخمس قطع، وواحدة منها تكون في المركز. ومن خلال الأربع قطع المتبقية، يمكن قسمهم إلى مجموعتين كل مجموعة تحتوي على قطعتين، ويمكن خلق كرة كاملة في كل مجموعة، كل واحدة منها تبدو بنفس الحجم الأصلي.

هذا الشيء لا يمكن فعله في الحياة الحقيقية (لأن الواقع محدود بالذرات) لكن من الممكن القيام بتشابه جزئي في الحياة الحقيقية. هذا التشابه الجزئي يتطلب معرفة دقيقة بقوانين الغازات، وأيضا الضغوط والأحجام المتعلقة بها.

يمكن البدء ببالون يمكن تمديده بحجم معين من الغاز الموجود فيه. والآن يطلق الغاز إلى وعاء يحويه ويتم تقسيمه لملأ بالونين اثنين. كل واحدة من البالونتين تحتوي على نصف الحجم الأصلي. لكن يمكن أن يكون هناك خدعة، سوف يتم تقليل الضغط في الغرفة إلى النصف. هذا يؤدي إلى تضاعف حجم البالون إلى الحجم الأصلي، ليبدو كل بالون بنفس الحجم الحقيقي.

لكن على الرغم من أن الآن كل بالون جديد لديه نفس الحجم الأصلي ولكنه لديه نصف الكثافة فقط، لذا هذا البالونات هي ليست نفس البالونات الأصلية.

الاعتراض على النظرية صحيح في العالم المادي. لكن في الرياضيات يمكن الحصول على مجالين متطابقين من مجال واحد. المجال الرياضي يحوي كثافة لا نهائية، عندما يتم قطع الكثافة الا نهائية إل النصف، ستظل الكثافة الجديدة بلا حدود وهنا يكمن الفرق عن العالم المادي.

التحليلات المتناقضة

قبل المحاولة لإثبات مفارقة باناخ تارسكي، يمكن التطرق إلى مفارقات مشابهة والمحاولة لفهمها للمساعدة على فهم النظريات من هذا النوع.

إحدى أول النظريات التي نشأت حول المفارقات في الصراع مع فكرة المحدودية. يمكن وضع مجموعة الأعداد الصحيحة في ارتباط 1-1 مع جميع الأعداد الصحيحة. يبدو هذا غريبا في البداية. إذا تم تفسير الكائنات المحددة على أنها مساوي بطريقة ما عندها يمكن تقسيم الشيء Z إلى قطعتين وكل منها بنفس الحجم الأصلي. عمل كانتور على هذه الفكرة وطور نظرية الكاردينال التي يواجهها علماء الرياضيات اليوم في فهم أو قبول بعض الأشياء.

بفضل هذه النظرية، نحن نعلم أن عدد النقاط في مسافة معينة يساوي عدد النقاط في مربع، لا يمكن أن تفاجأنا هذه الحقيقة بعدما سمحنا للنقاط بأن تتحرك بهذه الطريقة. على سبيل المثال النقاط في (0; 1) تماثل النقاط في (0; 2) يمكن أن توصل لهذا من خلال العلاقة الرياضية f(x) = 2x.

وهنا يجب مواجهة مشكلة أخرى (0; 2) هي ببساطة اتحاد مجموعتين (0; 1) و(1; 2) والتي تكون كل واحدة منها مماثلة للأصلية فكيف يحدث ذلك

على أية حال، يقيد عدد القطع إلى قطع محدود ومسموح به في الفضاء، المفارقات الأصلية كانت تعتمد على مجموعة تحولات مسموح بها، ثم يكون تعريفنا للمفارقة يعتمد على مجموعة التحولات المحدودة التي يمكن القيام بها.

القطع في مفارقة باناخ

حتى الآن، لم ننتبه إلى عدد القطع التي نستخدمها بالفعل (ازدواجية الكرة). في المناقشات والنظريات السابقة يستخدم المجال أكثر من ثماني قطع؛ وبالتالي، فإن تكرارنا للكرة لم يستخدم أكثر من سبعة عشر. لماذا من المهم الاهتمام بعدد النقط، إذا لم يكن لحقيقة رائعة حقا أننا بحاجة لها. في الواقع، العدد الأدنى المطلوب لتكرار أي مجموعة مع أي عمل جماعي هي

أربعة (لأنه بخلاف ذلك أحد القطع تتطابق في حد ذاتها مع المجموعة بأكملها، مما يعني أنها المجموعة بأكملها متجانسة). لن يمكن التوصل إلى هذا الحد الأدنى من الإجابة على الكرة لمجرد التفكير المجهد، لأن الطريقة التي سنستخدمها ستصبح قابلة للتطبيق في الأجناس.

تساؤلات حول مفارقة باناخ تارسكي

هذه المفارقات مفيدة لأنها تتحدى الحدس. لقد رأينا أن المفارقات تم بناؤها لإظهار عدم وجود تدابير معينة ولكنها اكتسبت سمعة سيئة في حد ذاتها باعتبارها فضول ونظريات غير قابلة للتطبيق. ولم يكن هناك إثباتات علمية كافية في العالم المادي. في الواقع لقد قام العلماء فقط بالتحليق على سطوع هذ النظريات وهذا الباب من العلم ولم يكن هناك تعمق كافي.

هذا يدفع للتساؤل عن نظريات إضافية. ماذا عن مسافات أخرى، مثل المستوى الزائدي؟ في الواقع، اتضح Hausdor مفارقة للطائرة الزائدية تستخدم في الواقع قطع بوريل (هذا لا يمكن أن يحدث هذا بسبب مقياس Lebesgue.) هناك مشكلة أخرى مفتوحة تتمحور حول فيما إذا كانت المساحة المترية المدمجة يمكن أن تكون متناقضة باستخدام قطع Borel. يسأل آخر،

مشكلة أخرى (مشكلة Marczewski) ما إذا كان S2 يعترف بمفارقة التحلل حيث تمتلك القطع خاصية Baire، أي تعيين Borel من قبل اتحاد لا يحصى من مجموعات كثيفة في أي مكان. أو هل يمكن ان تنقسم الطائرة إلى ثلاث قطع متطابقة؟

السابق
تعريف النظرية الكلاسيكية
التالي
العلاقة بين الكهرباء والمغناطيسية